Beschreibung der Operationen
Online-Rechnen mit Mathematica


Kategorie Operation Beschreibung
Zahlen

Diese Operationen werden auf alle in einem Term enthaltenen Zahlen angewandt.		 numerischer Wert Diese Operation ersetzt die in einem Term enthaltenen Zahlen (z.B. Sqrt[2] und Pi) durch deren (näherungsweise) Dezimaldarstellung.
numerischer Wert zu gegebener Genauigkeit Diese Operation ist etwas unzuverlässig und funktioniert in der Regel erst ab einem Genauigkeitswert von 17.
rationale Näherung Diese Operation versucht, jene Zahlen eines Terms, die in Dezimaldarstellung gegeben sind, durch Bruchzahlen anzunähern, deren Zähler und Nenner ganzzahlig und möglichst klein sind. Zahlen, bei denen das nicht in befriedigender Weise gelingt, bleiben in der Dezimaldarstellung stehen.
Term umformen

Diese Operationen übernehmen das Umformen von Termen.		 Klammern ausmultiplizieren Diese Operation multipliziert die in den Zählern eines Terms vorkommenden Klammern aus, lässt aber die Nenner bestehen.
auch Nenner ausmultiplizieren Diese Operatrion wirkt ein bisschen stärker aus die vorige, da sie insbesondere auch die in Nennern vorkommenden Klammern (aber auch jene auf beiden Seiten einer Gleichung) ausmultipliziert.
vereinfachen Diese Operation versucht, den eingegebenen Ausdruck so kompakt wie möglich zu schreiben.
auf gemeinsamen Nenner bringen Diese Operation bringt Kombinationen von Brüchen auf gemeinsamen Nenner.
in Faktoren zerlegen Diese Operation versucht, einen Term in Faktoren (mit ganzzahligen Koeffizienten) zu zerlegen.
Potenzen von Produkten und Potenzen vereinfachen Diese Operation ersetzt die Potenzen der in einem Term vorkommenden Produkte durch die Produkte der Potenzen und berechnet mehrfache Potenzen (z.B. wird Sqrt[a b] durch Sqrt[a]Sqrt[b] und Sqrt[x^2] durch x ersetzt). Dabei wird angenommen, dass alle potenzierten Größen und Faktoren positiv sind.
Zähler ausgeben Diese Operation gibt den Zähler eines Terms zurück.
Nenner ausgeben Diese Operation gibt den Nenner eines Terms zurück.
Variable ersetzen Mit dieser Operation können Sie im Eingabeterm eine Variable durch einen Zahlenwert oder einen anderen Term ersetzen.
Terme vergleichen auf Identität prüfen Die Eingabe muss die Form einer Gleichung "Term1 = Term2" haben. Falls Mathematica beide Terme ineinander umformen kann (d.h. die Gleichunng als Identität erkennt), lautet das Resultat "True", ansonsten wird die Eingabe in ausmultiplizierter Form als Gleichung ausgegeben.
Gleichung lösen

Diese Operationen lösen polynomische Gleichungen. Für Gleichungen ab der fünften Ordnung ist die Existenz einer exakten Lösung nicht garantiert.

Die Ausgabe der Lösung(en) von Gleichungen erfolgt in Listen mit Hilfe des Symbols ->. Beispielsweise bezeichnet {{x -> -1}, {x -> 1}} zwei Lösungen: x = -1 und x = 1.		 Gleichung "Eingabe = 0" exakt lösen Die Eingabe muss ein Term ohne = Zeichen sein. Geben Sie den Variablennamen ein!
Gleichung "Eingabe = 0" numerisch lösen Die Eingabe muss ein Term ohne = Zeichen sein. Geben Sie den Variablennamen ein!
Gleichung exakt lösen Die Eingabe muss die Form einer Gleichung haben, d.h. ein Ausdruck der Form "Term1 = Term2" sein. Geben Sie den Variablennamen ein!
Gleichung numerisch lösen Die Eingabe muss die Form einer Gleichung haben, d.h. ein Ausdruck der Form "Term1 = Term2" sein. Geben Sie den Variablennamen ein!
Gleichungssystem lösen

Für diese Operationen muss die Eingabe die Form einer Liste von (polynomischen) Gleichungen {Term1 = Term2, Term3 = Term4,...} haben.		 Gleichungssystem exakt lösen Geben Sie die Variablennamen in einer Liste, d.h. in der Form {x1, x2,...} ein!
Gleichungssystem numerisch lösen Geben Sie die Variablennamen in einer Liste, d.h. in der Form {x1, x2,...} ein!
Vektoren

Vektoren werden als Listen eingegeben, z.B. {1,2,3}. Addition, Subtraktion und Skalarprodukt von Vektoren werden mit +, - und . (Punkt) berechnet.		 Betrag Diese Operation berechnet den Absolutbetrag des eingegebenen Vektors.
Einheitsvektor Diese Operation normiert den eingegebenen Vektor.
Vektorprodukt Für diese Operation muss die Eingabe die Form einer Liste von zwei dreidimensionalen Vektoren haben, z.B. {{1,2,3},{3,2,1}}.

Matrizen

Matrizen werden als Listen von Listen eingegeben, z.B. steht {{1,2},{3,4}} für die Matrix

( 1 2 ) .
3 4

Addition, Subtraktion und das Produkt von Matrizen werden mit +, - und . (Punkt) berechnet. Die Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor kann in der Form {{1,2},{3,4}}.{x,y} eingegeben werden.

 Determinante Diese Operation berechnet die Determinante der eingegebenen quadratischen Matrix.
Spur Diese Operation berechnet die Spur (Summe der Diagonalelemente) der eingegebenen quadratischen Matrix.
inverse Matrix Diese Operation berechnet die Inverse der eingegebenen quadratischen Matrix.
transponierte Matrix Diese Operation berechnet die Transponierte der eingegebenen Matrix (d.h. vertauscht Zeilen und Spalten).
hermitisch konjugierte Matrix Diese Operation berechnet die hermitisch Konjugierte (= komplex Konjugierte der Transponierten) der eingegebenen Matrix.
Eigenwerte Diese Operation gibt eine Liste der Eigenwerte der eingegebenen quadratischen Matrix aus.
Eigenvektoren Diese Operation gibt eine Liste von Eigenvektoren der eingegebenen quadratischen Matrix aus.
Eigenwerte und Eigenvektoren Diese Operation kombiniert die beiden vorigen. Sie gibt eine Liste aus, die aus einer Liste der Eigenwerte und einer Liste von Eigenvektoren der eingegebenen quadratischen Matrix besteht.
Jordansche Normalform Diese Operation gibt eine Liste aus, die aus der Ähnlichkeitsmatrix und der Jordansche Normalform der eingegebenen quadratischen Matrix besteht.
Nullraum Diese Operation gibt eine Basis des Nullraums der eingegebenen quadratischen Matrix (d.h. der Menge aller Vektoren, die von ihr auf den Nullvektor abgebildet werden) aus. Ist die Ausgabe {}, so besteht der Nullraum nur aus dem Nullvektor. (Dann ist die eingegebene Matrix invertierbar).
Winkelfunktionen

Einige Operationen zur Vereinfachung von Termen mit WInkelfunktionen..		 Term mit Winkelfunktionen vereinfachen Diese Operation versucht, die im eingegebenen Ausdruck enthaltenen WInkelfunktionen so kompakt wie möglich zu schreiben.
Summensätze anwenden Ersetzt beispielsweise Sin[a + b] durch Cos[b] Sin[a] + Cos[a] Sin[b].
Exponential- in Winkelfunktionen umwandeln Ersetzt beispielsweise Exp[I x] durch Cos[x] + I Sin[x].
Winkel- in Exponentialfunktionen umwandeln Ersetzt beispielsweise Cos[x] + I Sin[x] durch Exp[I x].
Statistik

Für diese Operationen müssen die Daten in Form einer Liste (wie etwa {2, 4, 3, 3, 2, 5}) eingegeben werden. Falls das Resultat als Dezimalzahl angegeben werden soll, geben Sie zumindest einen Listeneintrag als Dezimalzahl an.		 Mittelwert Berechnet den Mittelwert einer Datenliste.
Varianz Berechnet die Varianz einer Datenliste.
Standardabweichung Berechnet die Standardabweichung einer Datenliste.
Regressionsgerade Für diese Operation müssen die Daten als Liste in der Form {f1, f2,...} oder in der Form {{x1, f1}, {x2, f2},...} eingegeben werden. (Im ersten Fall wird angenommen, dass x1 = 1, x2 = 2,... ist). Geben Sie den Namen der Variable an! Die Ausgabe ist der Funktionsterm für die Regressionsgerade (= Ausgleichsgerade) mit numerisch genäherten Koeffizienten.
Grenzwert berechnen

Berechnet den Grenzwert einer Folge oder Funktion.		   Geben Sie die Variable und den Wert, gegen den Sie streben soll, an! Für "unendlich " (bzw. "-unendlich ") können Sie das Symbol Infinity (bzw. -Infinity) verwenden.
Funktion differenzieren

Mit Hilfe dieser Operationen können Sie (erste und höhere) Ableitungen von Funktionstermen berechnen. Die Eingabe kann unbestimmte Funktionen wie f[x] enthalten.		 erste Ableitung Geben Sie die Variable an, nach der die eingegebene Funktion differenziert werden soll!
höhere Ableitung Geben an, wie oft und nach welcher Variable die eingegebene Funktion differenziert werden soll!
Funktion integrieren

Mit Hilfe dieser Operationen können Sie unbestimmte und bestimmte Integrale berechnen, letztere exakt oder in numerischer Näherung.		 Stammfunktion Geben Sie die Variable an, nach der die eingegebene Funktion integriert werden soll! Die Stammfunktion erscheint ohne Integrationskonstante.
bestimmtes Integral Um das bestimmte Integral der eingegebenen Funktion zu berechnen, geben Sie die Variable und die Integrationsgrenzen ein! Um ein uneigentliches Integral zu berechnen, können Sie das Symbol Infinity (bzw. -Infinity) verwenden.
bestimmtes Integral, numerisch Um das bestimmte Integral der eingegebenen Funktion näherungsweise zu berechnen, geben Sie die Variable und die Integrationsgrenzen ein! Um ein uneigentliches Integral näherungsweise zu berechnen, können Sie das Symbol Infinity (bzw. -Infinity) verwenden.
Taylorreihe bestimmen

Diese Operationen bestimmen die Taylorreihe einer Funktion bis zu einer gegebenen Ordnung.		 Taylorreihe mit Restglied Geben Sie die Variable, den Mittelpunkt (d.h. die Stelle, um die entwickelt werden soll) und die gewünschte Ordnung an, bis zu der die Reihe bestimmt werden soll! Um das asymptotische Verhalten einer Funktion im Unendlichen zu bestimmen, können Sie als Mittelpunkt Infinity eingeben. Die Taylorreihe wird bis zur gewünschten Ordnung berechnet. In der Ausgabe wird zusätzlich das asymptotische Verhaltens des Restglieds angezeigt.
Taylorreihe ohne Restglied Die Eingabe erfolgt wie bei der vorigen Operation. Die Taylorreihe wird bis zur gewünschten Ordnung berechnet und ohne Restglied angezeigt.
Differentialgleichung lösen

Diese Operation löst eine gewöhnliche Differentialgleichung oder ein System von gewöhnlichen Differentialgleichungen) exakt.		  

Schreibweise anhand eines Beispiels:

  • Differentialgleichung (Eingabe): y'[x]+3y[x]=x^2
  • Gesuchte Funktion: y[x]
  • Variable: x

Wollen Sie Anfangsbedingungen berücksichtigen, so schreiben Sie diese gemeinsam mit der Differentialgleichung in eine Liste.

  • Beispiel 1: {y'[x]+3y[x]=x^2, y[0]=1}
  • Beispiel 2: {y''[x]+3y[x]=0,y[0]=1, y'[0]=2}

Ein System von Differentialgleichungen wird analog behandelt, wobei die gesuchten Funktionen ebenfalls als Liste eingegeben werden müssen.


Liste der vordefinierten Funktionen:
Exp Exponentialfunktion
Log Logarithmus
Log[x] = natürlicher Logarithmus
Log[a,x] = Logarithmus von x zur Basis a
Sqrt Quadratwurzel
Power Potenz
Power[x,n] = x^n
Sin Sinus
Cos Cosinus
Tan Tangens
Cot Cotangens
ArcSin Arcus Sinus
ArcCos Arcus Cosinus
ArcTan Arcus Tangens
ArcCot Arcus Cotangens
Sec

Secans
Sec[x] = 1/Cos[x]

Csc Cosecans
Csc[x] = 1/Sin[x]
ArcSec Arcus Secans
ArcCsc Arcus Cosecans
Sinh Sinus Hyperbolicus
Cosh Cosinus Hyperbolicus
Tanh Tangens Hyperbolicus
Coth Cotangens Hyperbolicus
    
ArcSinh Arcus Sinus Hyperbolicus
ArcCosh Arcus Cosinus Hyperbolicus
ArcTanh Arcus Tangens Hyperbolicus
ArcCoth Arcus Cotangens Hyperbolicus
Sech Secans Hyperbolicus
Csch Cosecans Hyperbolicus
ArcSech Arcus Secans Hyperbolicus
ArcCsch Arcus Cosecans Hyperbolicus
Gamma Gamma-Funktion
Gamma[n+1] = n!
Beta Beta-Funktion
B[x,y]
Binomial Binomialkoeffizient
Binomial[m,n] = "m über n"
! Faktorielle
Abs Absolutbetrag
Sign Vorzeichen
Round ganzzahlig runden
Ceiling ganzzahlig aufrunden
Floor ganzzahlig abrunden
IntegerPart ganzzahliger Anteil
FractionalPart nichtganzzahliger Anteil
Mod modulo (Restklasse)
Mod[a,b] = "a modulo b"
Min Minimum
Max Maximum


Liste der vordefinierten Konstanten:
E Eulersche Zahl e
 Pi  Kreiszahl p
I imaginäre Einheit (i 2 = -1)