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1.1 Darstellungsarten
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Was versteht man unter expliziter, rekursiver und verbaler
Darstellung von Folgen?
Bei Unklarheiten lies in den Vorlesungsunterlagen nach!
Wiederholung
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1.3 Folge - Funktion
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Eine Folge ist eine Funktion, deren Definitionsbereich die Menge
der natürlichen Zahlen ist. Was heißt das?
Wenn áanñ
eine arithmetische Folge, so ist an welche Art von Funktion von n?
Veranschauliche dir diese Tatsache anhand einer Zeichnung: Jedem n wird
ein Funktionswert, nämlich an zugeordnet. Zeichne diese Punkte
in ein Koordinatensystem.
Kannst du eine Form des Graphens erkennen, der entstehen würde, wenn man die
einzelnen Punkte verbindet?
Überprüfe deine Zeichnungen mit dem Folgen-Plotter
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1.4 Arithmetische Folgen 1
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Bei arithmetischen Folgen wird zum Vorgänger-Glied immer ein konstanter Term
addiert, um zum nächsten Folgenglied zu gelangen. Wie äußert sich diese
Tatsache in der rekursiven Darstellung einer arithmetischen Folge? Wie sieht
diese Darstellung aus?
Versuche daraus die explizite Darstellung herzuleiten!
Hinweis: Setze in der rekursiven Darstellung immer wieder die rekursive
Darstellung des Vorgänger-Glieds ein.
Die Lösung dazu findest du im angegebenen File, aber nicht schummeln!
Arithmetische Folge - explizite Darstellung
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1.6 Geometrische Folge 1
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Bei geometrischen Folgen wird das Vorgänger-Glied immer mit einem konstanten Term multipliziert, um zum nächsten Folgenglied zu gelangen. Wie äußert sich diese Tatsache in der rekursiven Darstellung einer geometrischen Folge? Wie sieht diese Darstellung aus?
Versuche daraus die explizite Darstellung herzuleiten!
Hinweis: Setze in der rekursiven Darstellung immer wieder die rekursive Darstellung des Vorgänger-Glieds ein. Die Lösung dazu findest du im angegebenen File, aber nicht schummeln!
Geometrische Folge - explizite Darstellung
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1.16 Konvergenz von Folgen
http://www.mathe-online.at/materialien/Petra.Grell/files/WSAna9.pdf
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Bei den Nullfolgen haben wir an Hand unserer Zeichnung versucht zu erkennen,
ab welchem Index n0 für ein bestimmtes e
die Ungleichung
|xn - 0| < e
gilt.
Dies kann man nun auch auf allgemeine Folgen, die einen Grenzwert
x, besitzen, also konvergent
sind, verallgemeinern, indem man die Beziehung
|xn - x| < e
für ein spezielles e heranzieht.
Um den Index n0 nun auch rechnerisch zu bestimmen,
setzt man einfach die bekannten Daten, nämlich xn in expliziter
Darstellung, x und e in obige Beziehung
ein und formt die Ungleichung nach n um. So erhält man einen Wertebereich
für n, in dem die anfängliche Ungleichung gilt. n0 ist nun die
natürliche Zahl, die man duch Runden nach oben erhält.
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1.19 Grenzwert - Schranke
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Im Kapitel "Beschränktheit von Folgen" haben wir gesehen, dass das erste
Folgenglied einer monoton wachsenden (fallenden) Folge eine untere (obere)
Schranke der Folge ist.
Welche Eigenschaft erfüllt der Grenzwert einer konvergenten Folge, je nachdem
ob diese monoton wachsend oder monoton fallend ist?
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