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3.1 Zinseszins und KEST
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Zinseszinsen
Legt man auf ein Sparbuch das Kapital K und bekommt pro Jahr p Zinsen, so hat man nach n Jahren ein Kapital von Kn = K * (1 + (p/100) )n .
KEST
Leider muss jeder Sparer die sogenannte KEST (Kapitalertragsteuer) bezahlen. Diese betraegt gerade 27,5 % . D.h. man muss 27,5% seiner Zinsen dem Saat geben und einem selbst bleiben noch 100% - 27,5% = 72,5%.
Beispiel: Jemand legt fuer 5 Jahre ein Kapital von 12000 Euro auf ein mit 2,5% verzinstes Sparbuch.
Wie viel hat liegt nach den 5 Jahren a) ohne, b) mit Beruecksichtigung der KEST auf dem Sparbuch.
Loesung:
a) K5 = 12000 * (1 + 0,025)5 = 13576,9 Euro
b) K5 = 12000 * (1 + 0,025*72,5%)5 = 13127,6 Euro
Somit wuerden 449,3 Euro an den Staat gehen.
Zum selber rechnen
Ein Gelbetrag von 2500 Euro wird fuer 25 volle Kalenderjahre zu 2% p.a. angelegt. Welchen Guthabenstand erreicht der Sparer, wenn a) ohne, b) mit KEST gerechnet wird.
Gib auch jeweils den Stand des Kapitals nach 5,10,15 und 20 Jahren an. Um welche Folge handelt es sich hier?
Plotte beide Folgen. Wie sieht der Graph aus? Ist er durchgehen, besteht er nur aus einzelnen Punkten oder gibt es eine Treppe?
Lernstoff, Uebungsaufgabe
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3.2 Gemischte Verzinsung
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Mach dich im Internet ueber die gemischte Verzinsung schlau und interpretiere folgende Graphik.
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3.3 Abhaengigkeit des Zinsertrags vom Einzahlsdatum
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Es kann passieren, dass man mehr oder weniger Zinsen bekommt wenn man am richtigen bzw. falschen Tag eines Jahres sein Geld einzahlt.
Beispiel
Ein Betrag von 100.000 Euro wird mit 2,2% Zinsen auf ein Konto gezahlt. Auf welchen Betrag w�chst das Kapital an, wenn es genau nach einem Jahr wieder abgehobenwird, aber es an anderen Daten eingezahlt wurde.
1) 1. Jaenner 2016 - 31. Dezember 2016
2) 21. April 2016 - 20. April 2017
3) 10. Juli 2016 - 9. Juli 2017
4) 13. September 2016 - 12. September 2017
Loesung
Vertiefung, Uebungsaufgabe
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3.4 stetige Verzinsung
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Wird auf einer Bank beispielsweise 1 Euro eingezahlt mit einer Verzinsung von utopischen 100%. Nach einem Jahr haette man dann 2 Euro auf dem Konto.
Moechte man aber schon nach einem halben Jahr abrechnen und werden die Zinsen gleich wieder angelegt, so bekommt man das (1 + ½)2 fache des Startkapitals.
Unterteilt man nun das Jahr in n gleiche Teile so bekommt man das (1 + 1/n)n fache des Startkapitals.
Um die maximalen Zinsen zu bekommen muss n sehr gross werden (gegen ∞).
Und den Grenzwert von (1 + 1/n)n kennen wir ja schon, naemlich die Zahl e.
Eine sehr gute Beschreibung findest du hier.
Uebung
Ein Kapital von K = 1 Mio Euro wird fuer zwei Jahre auf ein Konto mit 1,5% Zinsen gelegt.
Berechne das Endkapital mit
a) jaehrlicher Verzinsung.
b) monatlicher Verzinsung.
c) woechentlicher Verzinsung.
d) taeglicher Verzinsung.
e) stetiger Verzinsung.
Loesung
Lernstoff, Uebungsaufgabe
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3.5 Renten
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Die Rente bezeichnet das Einkommen aus einem angelegtem Kapital, ohne einer Gegenleistung.
Aequivalenzprinzip: Zu jedem beliebigen Zeitpunkt muss die Summe die man von der Bank bekommt gleich gross sein wie die Summe die der Kunde einzahlt.
Beispiel
Jemand verlangt einen Lottogewinn von 50.000 Euro und moechte spaeter davon 20 Jahre lang einen gleichbleibenden monatlichen Betrag/Rente der Hoehe R beziehen. Wie gross ist R, wenn die Rente erstmals nach 10 Jahren bei einem effektiv Zinssatz von 4% p.a. ausbezahlt wird?
Loesung
Aufgabe
Wie hoch waere der monatliche Betrag R, wenn
a) der effektive Zinsatz 3% betraegt,
b) der effektive Zinsatz 5% betraegt,
c) die Rente erst 20 Jahre nach Einzahlung der 50.000 Euro ausbezahlt wird,
d) die Rente 25 Jahre lang ausbezahlt wird?
Hausuebung
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