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4.1 Mathematischer Hintergrund
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Folgende Überlegung: Die Abstände der Punkte zur (noch unbekannten) Geraden sollen möglichst klein werden. Darum handelt es sich um eine Optimierungsaufgabe und zwar um die sogenannte Methode der kleinsten Fehlerquadrate.
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4.2 Methode der kleinsten Fehlerquadrate
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Gegeben sind n Wertepaare (xi|yi), zu denen die Regressionsgerade y = a · x + b gesucht wird.
Dann kann folgendermaßen vorgegangen werden:
- Passe die Gerade mit der Gleichung y=ax+b so an das Streudiagramm an,
dass die Summe F der Fehlerquadrate der vertikalen Abweichungen minimal ist.
- Die Fehler zwischen dem berechneten y-Wert auf der Geraden und dem gemessenen y-Wert für das Wertepaar (xi|yi)ist
ei = yi - (a ·xi + b).
- Die Fehler ei heißen Residuen. Diese Residuen sind die Differenz zwischen den Messwerten yi und den Modellwerten y(xi).
- Um zu vermeiden, dass bei der Addition der Fehler für alle Wertepaare die Fehlersumme sich wegen verschiedener Vorzeichen reduziert - obwohl Abweichungen der Messwerte von der Geraden vorhanden sind - verwendet man anstelle der gewöhnlichen Fehler die Fehlerquadrate.
Die Summe F der Fehlerquadrate der n Wertepaare (xi|yi) beträgt damit
F(a,b)= Σ ei2 = Σ (yi - axi - b)2
Das führt uns jedenfalls auf eine Funktion F in zwei Veränderliche a und b. Diese kann mithilfe der Differentialrechnung minimiert werden.
Lernstoff
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