| Dieser Lernpfad dient als Unterlage zu einer Einheit im PC-Labor zum Thema "Funktionen" im Rahmen der Workshops für Analysis im WS 2004/05 an der Universität Wien. |
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Hilfe |
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2. Beispiele zu injektiv, surjektiv, bijektiv
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Sieh dir die Beispiele an und überleg, warum sie injektiv/nicht injektiv, surjektiv/nicht surjektiv sind!
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3. Verknüpfung von Funktionen
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Funktionen kann man auch miteinander verknüpfen, das heißt man baut aus 2 Funktionen eine neue Funktion zusammen, wobei zuerst die erste Funktion angewendet wird, und auf das Ergebnis dann die zweite.
Angenommen, man hat eine Funktion f:X®Y und eine Funktion g:Y®Z. Man kann nun durch Verknüpfen eine neue Funktion, nennen wir sie h, erzeugen, die von X nach Z geht.
Angeschrieben wird dies mit einem "Ring" o: (g o f)(x)=g(f(x))
Was kommt wohl heraus, wenn man die Inverse Funktion f -1 mit der ursprünglichen Funktion f verknüpft?
f -1 o f(x) = x (Die Funktion "x" nennt man auch "Identität", weil sie eigentlich gar nichts macht, sondern die unabhängige Variable einfach als abhängige Variable wieder ausgibt)
Das geht natürlich auch umgekehrt:
f o f -1 (x) = x
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4. Elementare Funktionen
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In den folgenden Punkten sollst du "elementare Funktionen" untersuchen, dh. wichtige Funktionen, aus denen sich die meisten Funktionen zusammensetzen lassen.
Deine Aufgabe:
- Erstelle von jeder Funktion eine Skizze (mit Hilfe von Mathematica)
- Injektivität: Auf welchen Bereichen ist die Funktion injektiv?
- Surjektivität: Auf welchen Bereichen ist die Funktion surjektiv?
- Bijektivität: Auf welchen Bereichen ist die Funktion bijektiv?
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5. Lineare Funktionen
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Wir beginnen mit der linearen Funktion.
Die Definition findest du
hier auf der zweiten Seite
bzw. auf deinem gedruckten Handout.
Starte Mathematica und versuche, eine beliebige lineare Funktion zu plotten.
Verwende dazu den Befehl
Plot[f(x),{x,-10,10}].
Gib statt f(x) die Funktion ein und statt -10 und 10 den Bereich der x-Achse,
den du auf der Grafik sehen möchtest.
Erstelle dann eine Skizze davon und bestimme, ob eine lineare Funktion von R nach R
injektiv, surjektiv
oder bijektiv ist!
Versuche außerdem folgende Fragen zu beantworten:
- Wann ist eine lineare Funktion injektiv?
- Wann ist eine lineare Funktion surjektiv?
- Wann ist eine lineare Funktion bijektiv?
Die Antworten auf diese Fragen findest du hier.
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6. Stückweise lineare Funktionen
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Lineare Funktionen können auch unterbrochen sein oder Ecken haben. Zwei wichtige stückweise lineare Funktionen sind die Signumfunktion (Vorzeichenfunktion) und die Betragsfunktion.
- Signumfunktion (Vorzeichenfunktion)
Die Signumfunktion wird mit sgn bezeichnet und gibt immer das Vorzeichen der eingegebenen Zahl aus. Das heißt: -1 für negativ, 0 für 0 und +1 für positiv.
sgn(-4)=-1
sgn(+169)=+1
sgn(0)=0
Nimm einen Zettel, und versuche diese Funktion für alle reellen Zahlen zu zeichnen. Tipp: Die Funktion hat 2 Bruchstellen!
Überprüf mit Mathematica dein Ergebnis. Gib nacheinander die folgenden vier Befehle ein:
sgn[x_] := 1 /; x > 0
sgn[x_] := 0 /; x = 0
sgn[x_] := -1 /; x < 0
Plot[sgn[x], {x, -5, 5}]
Untersuche auch hier wieder Injektivität, Surjektivität und Bijektivität! Hier findest du die Lösung.
- Betragsfunktion
Die Betragsfunktion "vergisst" das Vorzeichen der eingegebenen Werte und wird mit zwei senkrechten Strichen bezeichnet.
Beispiele:
|-4|=4
|0|=0
|4|=4
Versuche diese Funktion von R nach R zu zeichnen.
Überprüf deine Skizze mit Mathematica und dem Befehl
Plot[Abs[x], {x, -2, 2}]
Untersuche wieder die Funktion auf ihre Eigenschaften. Hier ist die Lösung.
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8. Rationale Funktionen
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Als rationale Funktionen bezeichnet man Funktionen, die im Nenner und im Zähler jeweils ein Polynom stehen haben.
Seien p(x), q(x) Polynome. Dann ist f(x)=p(x)/q(x) eine rationale Funktion.
Rationale Funktionen sind immer ein Problem, wenn der Nenner 0 wird. Daher muss man bei diesen Funktionen immer die Nullstelle des Nenners ausrechnen (d.h. für welches x ist der Nenner 0) und diese Zahlen aus dem Definitionsbereich ausschließen. Rationale Funktionen haben eine Asymptote, wo der Nenner 0 wird.
Zeichne eine beliebige rationale Funktion mit Mathematica, fertige eine Skizze an und bestimme Definitionsbereich, Zielmenge sowie Injektivität, Surjektivität, Bijektivität.
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9. Wurzelfunktionen
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Auch die Wurzelfunktionen sind wichtige Funktionen. Zeichne mit Hilfe von Mathematica und dem Befehl
Plot[{f1(x), f2(x), f3(x), f4(x)}, {x, -1, 1.5}]
folgende Funktionen:
f1(x)=x
f2(x)=Öx
f3(x)= 3Öx
f4(x)= 4Öx
Was haben diese Funktionen gemeinsam? Wie schaut's aus mit Injektivität, Surjektivität, Bijektivität?
Hier kannst du's nachlesen.
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10. Zusammenhang Potenz-/Wurzelfunktion
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Wie du vielleicht schon vermutest, ist die Wurzelfunktion die Umkehrfunktion der entsprechenden Potenzfunktion. Du kannst dies in Mathematica grafisch veranschaulichen indem du folgende Funktionen eingibst:
f1(x)=x
f2(x)=x³
f3(x)=3Öx
Wenn du dir das rechte obere Feld ansiehst, erkennst du, dass sich die beiden Funktionen an der "1. Mediane" (= die Funktion f(x)=x) spiegeln. Wenn du grafisch schnell Umkehrfunktionen konstruieren willst, kannst du das genauso machen: Einfach die Funktion an der 1. Mediane spiegeln!
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11. Exponentialfunktionen
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Exponentialfunktionen sind allgemein folgendermaßen definiert:
aexp:R®R
aexp(x)=ax mit a positiv und reell
a nennt man Basis. Die wichtigste Basis ist a=e (Eulersche Zahl). Zeichne mit Hilfe von Mathematica die folgenden Exponentialfunktionen und versuche
die Eigenschaften von Exponentialfunktionen zu bestimmen:
(1/2)x und 2x
(1/3)x und 3x
(2/3)x und (3/2)x
ex
Hier die Lösung.
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12. Logarithmusfunktion
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Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion und folgendermaßen definiert:
alog:R+®R
Zeichne mit Hilfe von Mathematica die Exponentialfunktion sowie
die Logarithmusfunktion. Du wirst erkennen, dass
sich beide Funktionen an der 1. Mediane spiegeln.
Versuche außerdem, weitere Eigenschaften der
Logarithmusfunktion festzustellen.
Hier die Eigenschaften.
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13. Winkelfunktionen - Mathematische Hintergründe
http://www.mathe-online.at/mathint/wfun/i.html
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Winkelfunktionen sind ebenfalls sehr wichtige Funktionen. Klicke auf den oben stehenden Link. Wenn du es eilig hast, lies dir vor allem die Kapitel "Sinus und Cosinus für alle Winkel: Zeigerdiagramme", "Tangens und Cotangens" und "Die inversen Winkelfunktionen" durch.
Anschließend solltest du zumindest zu sin, cos und tan folgende Fragen beantworten können:
- Definitionsmenge
- Bildbereich
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