Bevor wir uns mit der Teilbarkeit von ganzen Zahlen beschäftigen, ist es wichtig, sich nochmals über die Menge der ganzen Zahlen klar zu werden. Wiederhole dieses Thema anhand des Kapitels 2 des Lernpfads von Gabriel Ranz.

Mache auch den dortigen kleinen Abschlusstest in Abschnitt 2.6!

Sind a und b Zahlen aus der Menge der ganzen Zahlen, so heißt a durch b teilbar (oder "b teilt a", geschrieben b|a), wenn es eine ganze Zahl q gibt, so dass a = b*q ist.

Mache Dir klar, dass es hier ausschließlich um den Zusammenhang von ganzen Zahlen geht. Natürlich kann man in den reellen Zahlen jede Zahl durch ein reellwertiges Vielfaches einer anderen erhalten. Hier ist die Frage, ob eine ganze Zahl a ein ganzzahliges Vielfaches einer anderen ganzen Zahl ist.

Die Zahlen können natürlich auch negativ sein! Der obige Zusammenhang gilt natürlich auch z.B. für a = -15, b = 3 und q = -5.

Überlege Dir 5 Beispiele von Zahlenpaaren von denen jeweils eine Zahl die andere teilt, bestimme bei jedem Paar das q und schreibe Sie in Deinem Lerntagebuch auf!

Man kann sich aufgrund der Definition von Teilbarkeit leicht überlegen, was daraus alles für mehr als 2 Zahlen folgt.

• Gilt c|b und b|a, so gilt auch c|a.

  Überlege kurz selbst warum dies so ist!

  Beweis: dies folgt aus der obigen Definition. Aus c|b folgt, dass b = q₁*c und aus b|a folgt, dass a = q₂*b. Setzt man nun die erste Gleichung in die zweite ein, so ergibt sich a = q₂*q₁*c. Da q₁ und q₂ ganze Zahlen sind, ist auch deren Produkt eine ganze Zahl und somit steht hier die Definition der Teilbarkeit von a durch c, also c|a

• Gilt b₁|a₁ und b₂|a₂, so gilt auch b₁*b₂|a₁*a₂

• Gilt b|a und a|b, so gilt a=b oder a=-b.

Überlege Dir aufgrund der obigen Definition Beweise für die beiden letzten Aussagen und schreibe Sie in Deinem Lerntagebuch auf!

Wahrscheinlich ist Dir bei der ersten Aufgabe aufgefallen, dass nicht jedes Paar von ganzen Zahlen teilbare Zahlen ergibt. Bei solchen Paaren ergibt sich ein Rest. Für jedes Zahlenpaar ist diese Division mit Rest allerdings eindeutig, d.h.

Für 2 ganze Zahlen a,b mit b ungleich 0 gibt es genau eine Darstellung a = b*q + r mit ganzen Zahlen q und r mit 0 ≤ r < |b|.

Dabei heißen a Dividend, b Divisor, q Quotient und r der Rest der Division von a durch b. Wir bezeichnen q mit a/b ("ganzzahlige Divison") und r mit a mod b (sprich "a modulo b").

Finde für b=5 verschiedene Zahlen a, so dass sich unterschiedliche Reste ergeben! Wie viele verschiedene Reste kannst Du finden und warum?

Ein wichtige Teilmenge der natürlichen Zahlen sind die sogenannten Primzahlen. Das sind diejenigen natürlichen Zahlen größer als 1, die eben keinen Teiler haben - außer die trivialen wie 1 und sich selbst.

Diese Primzahlen spielen in der Mathematik eine wichtige Rolle. Ohne Beweis sei hier angeführt, dass z.B. jede natürliche Zahl die keine Primzahl ist, als eindeutiges Produkt von Primzahlen dargestellt werden kann. Außerdem bilden sie die Grundlage für die sogenannten Restklassenkörper, mit denen wir uns im nächsten Kapitel beschäftigen werden.

Was genau sind nun Primzahlen?Teste dich selbst!

Kennst du dich nun mit Teilbarkeit aus? Mache den Test!