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1.3 Der Tangens eines Winkels
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Winkel kann man nicht nur unter Bezugnahme auf den Einheitskreis festlegen. Insbesondere
spitze Winkel werden haeufig durch rechtwinkelige Hilfsdreiecke festgelegt.
Beispielsweise kann man einen Winkel von 37° durch ein rechtwinkeliges
Dreieck mit den Kathetenlaengen 3 und 4 festlegen.
Ebenso gut haette man den Winkel auch durch ein rechtwinkeliges Dreieck mit den Kathetenlaengen
15 und 20 oder 75 und 100 festlegen koennen weil sich das Verhaeltnis nicht aendert
Alle rechtwinkeligen Dreiecke, deren Katheten in einem festen Verhaeltnis zueinander stehen, sind aehnlich und bestimmen den
gleichen Winkel. Die Angabe dieses Seitenverhaeltnisses genuegt zur Festlegung des Winkels.
Eine typische Anwendung dieses Sachverhaltes ist der Begriff "Steigung" einer Geraden, worunter
man das Verhaeltnis von Hoehengewinn (bzw. Verlust) zu Horizontalentfernung versteht.
Daher bedeutet die Angabe: (Abbildung 1)
Eine Schlepplifttrasse besitzt die Steigung 75 Prozent wegen
"75 Prozent = 0,75 = 75/100 = 15/20 = 3/4 = 0,75/1
"75m Hoehengewinn pro 100m Horizontalentfernung" oder
"15m Hoehengewinn pro 20 m Horizontalentfernung" oder
"3 m Hoehengewinn pro 4 m Horizontalentfernung" oder
"0,75m Hoehengewinn pro 1 m Horizontalentfernung" ...
Mathematisch gesprochen wird der Winkel φ dabei jeweils
durch das Verhaeltnis der Gegenkathete G und der Ankathete A in einem rechtwinkeligen Hilfsdreiecke festlegt.
Man sagt:
Der Tangens eines Winkels φ ist 0,75m kurz: tanφ=0,75.
Einfaches Bsp:
Ermittlung des tan(12,75°) mittels Taschenrechner:
tan(12,75°)=0,2263
Wiederholung
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1.4 Der Sinus eines Winkels
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Den Stiegungswinkel φ der Schlepplifttrasse haette man ebenso gut durch das Verhaeltnis
des Hoehengewinns zur Trassenlaenge - allgemein durch das jeweilige Verhaeltnis der Gegenkathete G
zur Hypotenuse H - festlegen koennen:
Wegen H = ∏75²+100² = 125 gilt 75/125 = 3/5 = 0,6
Man sagt: Der Sinus des Winkels φ ist 0,6, kurz: sinφ=0,6
Einfaches Bsp:
Eine Trasse besitzt den Anstieg 8Prozent. Unter welchen Winkel φ steigt die Trasse an?
sinφ = 0,08 = 8/100 = 4/50 = G/H
Der Taschenrechner liefert nach eintippen von arcsin(0,8) liefert das Ergebnis φ=4,59°
Wiederholung
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1.5 Der Cosinus eines Winkels
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Den Steigungswinkel φ der Schlepplifttrasse haette man ebenso gut durch das Verhaeltnis
der Horizontalentfernung zur Trassenlaenge - allgemein: durch das heweilige Verhaeltnis
der Ankathete A zur Hypotenuse H festlegen koennen:
100/125 = 4/5 = 0,8
Man sagt: Der Cosinus eines Winkels φ ist 0,8, kurz: cosφ=0,8
Wiederholung
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