Die harmonische Schwingung gehört zu den wichtigsten Modellen
für Bewegungsverläufe, die die Physik kennt. In diesem Lernpfad kannst
du die mathematische Beschreibung dieses Schwingungsform kennenlernen.
Weiters erfährst du, warum die Winkelfunktionen Sinus und Cosinus
nicht nur bei der Beschreibung von Dreiecken, sondern auch
bei der Beschreibung von Bewegungen unentbehrlich sind.
(Mindest-)Voraussetzungen aus Mathematik: Winkel, Bogenmaß,
Sinus eines Winkels im rechtwinkeligen Dreieck, Graph der
Sinusfunktion. (Zum Nachlesen siehe etwa die Kapitel
Winkelfunktionen
und
Funktionen 2
der Mathematischen Hintergründe).
(Mindest-)Voraussetzungen aus Physik: Winkelgeschwindigkeit
Beim Einsatz im Unterricht sollte vorab die Form der
zu erbringenden Dokumentation mit den SchülerInnen vereinbart werden.
Dieser Lernpfad entstand in Kooperation mit
Herbert Wieninger
(BG/BRG Rahlgasse, 1060 Wien).
Die harmonische Schwingung ist definiert als die durch
den Schatten eines gleichförmig rotierenden Zeigers
zustande kommende Bewegungsform. Das ist in der folgenden Animation
illustriert:
Beobachte, wie der gelbe Punkt eine Schwingung ausführt.
Im Folgenden kannst du lernen, wie diese Bewegungsform mathematisch beschrieben wird.
2. Beschriftung
Wir verwenden für die auftretenden Größen folgende Symbole:
A
...
Länge des Zeigers. (Diese Größe wird auch die Amplitude
der harmonischen Schwingung genannt).
j ...
(Momentaner) Winkel
des Zeigers (im Bogenmaß).
x ...
(Momentane) Position
des schwingenden Punktes. (Diese Größe wird positiv oder negativ gesetzt, je nachdem,
ob der Zeiger nach oben oder nach unten weist. Ihr Betrag ist gleich der
Länge des Schattens. Sie wird auch die Elongation
der harmonischen Schwingung genannt).
w ...
Winkelgeschwindigkeit
der Rotation des Zeigers. (Diese Größe wird auch die Kreisfrequenz der harmonischen Schwingung genannt).
Wiederhole (aus dem Mathematikunterricht): Wie ist das Bogenmaß definiert?
(Siehe dazu etwa den betreffenden Abschnitt im Kapitel
Winkelfunktionen
der Mathematischen Hintergründe). Wiederhole (aus dem Physikunterricht): Was ist die Winkelgeschwindigkeit? In welchen Einheiten wird sie
gemessen?
3. Berechnung von x aus j
Berechne x aus einer
beliebigen (momentanen) Zeigerstellung
j ! Wiederhole aus dem Mathematikunterricht: Wie ist der Sinus eines Winkels
definiert? (Du kannst dazu das Kapitel
Winkelfunktionen
der Mathematischen Hintergründe benutzen).
4. Gleichförmige Rotation
Wie ändert sich der Winkel des Zeigers im Laufe der Zeit?
Mit anderen Worten: Berechne die Funktion j(t) !
Nimm der Einfachheit halber an, dass zur Zeit t = 0
der Winkel ebenfalls 0 ist, d.h. dass j(0) = 0 gilt!
5. Berechnung des Bewegungsverlaufs x(t)
Nun berechne den Bewegungsverlauf x(t) der harmonischen Schwingung!
Mit dem Ergebnis des vorherigen Lernschritts solltest du das Resultat
x(t) =
A sin(wt)
erhalten! Diese Formel stellt eine mathematische Beschreibung der harmonischen Schwingung dar, die in
der Physik eine wichtige Rolle spielt.
Mit diesem
Applet
kannst du den Zusammenhang zwischen der Kreisbewegung und dem Graphen der
Sinusfunktion wiederholen.
6. Zusatzaufgabe: Allgemeine Formel
Die in den beiden vorangegangenen Lernschritten hergeleitete Formel ist
nicht ganz allgemein, da sie j(0) = 0 voraussetzt.
Leite j(t) und x(t) für den
allgemeinen Fall her, dass der Winkel des Zeigers zur Zeit t = 0
gleich einem Wert j0 ist (letztere
Größe wird auch die Anfangsphase genannt).
Als Resultat solltest du x(t) =
A sin(wt + j0)
erhalten.
7. Zusatzaufgabe: Die Rolle des Cosinus
Falls der Zeiger zu Beginn der Bewegung genau nach oben zeigt:
Wie groß ist j0?
Für dieses j0 vereinfache die Formel x(t) =
A sin(wt + j0) !
Benutze eine spezielle Beziehung zwischen der Sinus- und der Cosinusfunktion, die du im Kapitel
Winkelfunktionen
(allerdings im Gradmaß formuliert) nachlesen kannst!
Du solltest das Resultat
x(t) =
A cos(wt)
erhalten!
8. Graphische Darstellung des Bewegungsverlaufs
Das folgende Bild
zeigt den Bewegungsverlauf (für j0 = 0) in graphischer Darstellung. Lege eine Skizze an
und ergänze die fehlenden Achsenbeschriftungen! Wiederhole (aus dem Mathematikunterricht) die Eigenschaften des Graphen der
Sinusfunktion. (Einen Steckbrief der Sinusfunktion und ihres Graphen kannst du im Kapitel
Funktionen 2
der Mathematischen Hintergründe nachlesen).
9. Periodendauer
Die Periodendauer (Schwingungsdauer) T
der harmonischen Schwingung ist jene Zeitdauer, die während eines vollständigen
Umlaufs des Zeigers vergeht. Sie hängt von der Kreisfrequenz
w ab. Bestimme sie!
(Sie ergibt sich unmittelbar aus den Ergebnissen des vorherigen Lernschritts).
10. Frequenz
Die Frequenz n einer harmonischen Schwingung
gibt die Zahl der Perioden (d.h. vollständigen Zeigerumläufe) pro Zeiteinheit an.
Wie hängt sie mit der Periodendauer (und daher mit der Kreisfrequenz) zusammen?
11. Zusammenfassung
Stelle die dir am wichtigsten erscheinenden Formeln, die in diesem Lernpfad
vorgekommen sind, zusammen und schreibe dazu, was sie bedeuten!
12. Nachbemerkung
Viele Bewegungen in der Natur lassen sich in guter Näherung als harmonische
Schwingung beschreiben (z.B. die Schwingungen eines Federpendels um die Ruhelage).
Den rotierenden Zeiger gibt es dabei natürlich nicht -
sind die oben hergeleiteten Formeln einmal bekannt,
könnte man diese Hilfskonstruktion wieder vergessen (obwohl sie auch dann hilfreich ist).
