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3.1 Einleitung
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Nach dem Punkt 2 hast du nun die quadratischen Funktionen als Funktionen vom Typ f(x)=ax²+bx+c kennen gelernt. Das ist die so genannte "Normalform". In den folgenden Kapiteln lernst du nun wie du den Graphen solcher Funktionen zeichnen kannst und mit ihnen rechnen kannst.
Vorgriff
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3.2 Die Nullstellen
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Wenn du dir nun eine Parabel in einem Koordinatensystem vorstellst, erkennst du sicher, dass sie die x-Achse entweder in einem Punkt, in zwei Punkten oder gar nicht schneidet. Diese verschiedenen "Lösungsfälle" oder auch "Lösungen" kannst du dir leicht errechnen. Da bei den Nullstellen ja die x-Achse geschnitten wird, ist der dazugehörige y-Wert natürlich 0. Für die Funktion heißt das nun, dass sie zu einer quadratischen Gleichung wird: y=3x²+4x-10 wird zu 0=3x²+4x-10. Zum Lösen solcher Gleichungen gibt es nun drei verschiedene Wege:
1. Im Fall 5x²+0x-80=0 --> 5x²-80=0 löst du die Gleichung wie bereits in der Unterstufe:
x²-16=0 / +16
x²=16 / √
x1=4
x2=(-4)
4 und (-4) aus der Überlegung heraus, dass sowohl 4² als auch (-4)² 16 ergeben.
2. Im Fall 3x²+6x+0=0 --> 3x²+6x=0 verwendest du den "Produkt-Null-Satz"
x*(3x+6)=0 / hebe x heraus
x=0 ∨ 3x+6=0
x1=0
3x+6=0 --> x2=(-2)
3. Im Fall 3x²-18x-48=0 ergänzt du die linke Seite zu einem "vollständigen Quadrat"
3x²-18x-48=0 / :3
x²-6x-16=0 / +16
x²-6x=16 / +9
x²-6x+9=25 / nun kannst du die linke Seite als binomische Formel anschreiben
(x-3)²=25 / √
x-3=±5 / ±5 aus der gleichen wie Überlegung wie in 1.
x=3±5
x1=8
x2=(-2)
4. Eine Schwierigkeit im Punkt 3. ist das Finden der Ergänzungszahl 9. Die 9 war in diesem Fall leicht zu finden, es gibt jedoch genügend Funktionen, wo das Ergänzen auf ein vollständiges Quadrat nicht so leicht ist. In solch aussichtslosen Fällen verwendest du die "große Lösungsformel". Sie lautet bei Funktionen vom Typ f(x)=ax²+bx+c:
Im Fall f(x)=4²-16x+16 --> 4x²-16x+16=0 kannst du diese Formel beispielsweise anwenden.
x1,2=(16±√(16²-4*4*16))/(2*4) =
(16±√(256-256))/8 =
(16±0)/8
x1=x2=2
Lernstoff
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3.3 Diskriminante
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Den Teil bei der großen Lösungsformel, der unter der Wurzel steht, also "b²-4ac" nennt man Diskriminante. Dieser Teil entscheidet im Wesentlichen, wie viele Lösungen die Gleichung und in weiterer Folge wie viele Nullstellen der Graph der Funktion hat.
Als Merksatz hierfür gilt:
Die Überlegungen hierzu ergeben sich aus der Tatsache, dass die Wurzel einer positiven reellen Zahl stets zwei Lösungen hat. Die Wurzel aus 0 hingegen ist immer 0 und die Wurzel aus einer negativen Zahl hat keine reelle Lösung.
Lernstoff, Eintrag in das Lerntagebuch
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3.4 Die Komponenten a,b,c
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Jetzt kannst du bei deinem Graphen schon mal die Nullstellen also die Schnittpunkte mir der x-Achse einzeichnen. Jetzt wollen wir lernen, für was a,b,c in f(x)=ax²+bx+c bedeuten.
a
Das a gibt dir Aufschluss darüber, ob die Parabel, die du zeichnest, nach unten oder nach oben geöffnet ist.
Ist das a<0 (f(x)=-3x²+2x-4) ist die Parabel nach unten geöffnet.
Ist das a>0 (f(x)=3x²+2x-4) ist die Parabel nach oben geöffnet.
Ist das a=0 (f(x)=2x-4), nun ja, dann haben wir wieder eine lineare Funktion.
b
Das b gibt dir Aufschluss darüber, ob die Parabel bezüglich der y-Achse nach links oder nach rechts verschoben ist, jedoch hängt das auch von a ab.
Ist a>0 und b>0 (f(x)=3x²+2x-4) dann ist die Parabel nach LINKS verschoben.
Ist a>0 und b<0 (f(x)=3x²-2x-4) dann ist die Parabel nach RECHTS verschoben.
Wenn a<0 ist, dreht sich diese Regel um.
Als Übung überleg dir, wie die Regel nun mit negativem a aussehen könnte und vermerke sie im Word-Dokument "Lerntagebuch".
c
Das c gibt dir Aufschluss darüber wo der Schnittpunkt mit der y-Achse ist.
Ist c>0 (f(x)=3x²+2x+4) dann schneidet die Parabel die y-Achse genau im Punkt (0/c).
Ist c<0 (f(x)=3x²+2x-4) dann schneidet die Parabel die y-Achse genau im Punkt (0/-c).
Ist c=0 (f(x)=3x²+2x) dann schneidet die Parabel die y-Achse im Punkt (0/0).
Lernstoff, Eintrag in das Lerntagebuch
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3.5 Der Scheitelpunkt
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Als Scheitelpunkt wird der Punkt bezeichnet, der bei einer Parabel ganz oben oder ganz unten ist, je nachdem in welche Richtung die Parabel geöffnet ist. In der Literatur wird er gerne als Hoch- oder Tiefpunkt bezeichnet. Auch hierfür gibt es eine Formel um den Scheitelpunkt zu berechnen:
S(-(b/2a)|(4ac-b²)/4a)
Lernstoff
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