| Dieser Lernpfad dient als Unterlage zu einer Einheit im Hörsaal zum Thema "Funktionen" im Rahmen der Workshops für Analysis im WS 2004/05 an der Universität Wien. |
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2. Exakte Definition einer Funktion
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Nachdem du nun schon eine Ahnung davon hast, worum es sich um Funktionen handelt, folgt hier eine mathematisch exakte Definition (aus Rindler: "Analysis einer Veränderlichen", Skriptum):
Sprich: "f heißt Funktion von X nach Y, wenn für alle x aus der Menge X gilt: es existiert genau ein y aus der Menge Y mit y entspricht dem Funktionswert von x."
- X ist die Definitionsmenge, das heißt: Man darf für x alle Werte aus der Menge X einsetzen. Fällt dir dazu ein Beispiel ein? Was könnte ein möglicher Definitionsbereich der Funktion f(x)=1/x sein?
Hier steht die Lösung der Frage.
- Y heißt die Zielmenge, das heißt welche Werte können angenommen werden.
- Im(f) heißt Image oder Bildbereich der Funktion. Mathematisch wird das auch so formuliert:
Umgangssprachlich bedeutet das: Unter Bildmenge versteht man alle y aus der Wertemenge, die Funktionswert von einem x aus der Menge A sind.
- Um die Sache noch zu verkomplizieren, gibt es auch noch den Begriff des Urbilds:
Ausgehend von einer beliebigen Teilmenge B der Wertmenge Y sind das alle jene x, deren Bilder die Elemente aus B sind.
Hier kannst du diese Begriffe noch üben!
Als Graph bezeichnet man die Kombination von allen x und y, die laut Funktion zusammengehören. Das muss also nicht unbedingt eine Zeichnung sein, sondern ist nur eine Menge!
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3. Injektiv, surjektiv, bijektiv
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Lies dir die Beschreibung der Begriffe injektiv, surjektiv und bijektiv unter folgendem Link durch und klick auch rechts auf die Beispiele:
Injektiv, surjektiv und bijektiv
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