Berühmte Kurven.

Unter der Rubrik "Famous curves index" findet man bei http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/index.html

eine Sammlung historischer Kurven, die ursprünglich durch sinnreiche Konstruktionen erzeugt wurden. Dort sind nicht nur die Gleichungen der Kurven in rechtwinkligen Koordinaten oder in Polarkoordinaten angegeben, sondern auch noch interessante historische Erläuterungen.

Mit Hilfe der Gleichungen (und einem Computer-Algebra-System) ist es für uns heute natürlich leicht, diese Kurven zu zeichnen und ihre Eigenschaften zu untersuchen. Es ist aber immer noch reizvoll, die ursprünglichen Konstruktionen nachzuvollziehen. Dabei leistet eine Geometrie-Software wie z. B. Cinderella gute Dienste, da sie erlaubt, interaktive Applets zu erstellen, wodurch die Konstruktionen durchschaubar werden. Außerdem lassen sich diese Kurven auch mit Hilfe von Animationen vorführen.

Selbstverständlich findet man diese historischen Kurven auch in der einschlägigen Literatur, darunter auch in manchen Schulbüchern.

Hier sollen nun einige der Kurven-Konstruktionen vorgestellt werden. Das bei den Applets eingezeichnete Koordinatengitter erlaubt, die beweglichen Punkte in den Gitterpunkten einzurasten. Die Bewegung geschieht durch Anklicken und Festhalten mit der linken Maustaste.

· Die Kissoide (Cissoide) des Diokles (um 180 v. Chr.).

Für diese Kurve gibt es mehrere Arten der Erzeugung. Die Tangentenkonstruktion ist eine spätere Ergänzung.

Beispiel 2 zeigt eine zweite Art der Konstruktion, hierzu auch die Animation.

Schließlich gibt es auch eine verallgemeinerte Kissoide, die sich ebenfalls konstruieren lässt.

Auch mit einem gleitenden rechten Winkel lässt sich die Kissoide konstruieren.

· Die Conchoide (Muschelkurve) des Nikomedes (um 180 v. Chr.)

· Die Trisektrix von C. MacLaurin (1698 - 1746). Mit der gezeichnet vorliegenden Kurve lassen sich Winkel dritteln.

· Die Lemniskate (Schleife) des Jakob Bernoulli (1654 - 1705) kann man erzeugen mit einem überschlagenen Gelenkviereck.

Im Spezialfall ist die Kurve der Ort aller Punkte P, deren Abstandsprodukt von zwei Punkten A und B gleich dem Quadrat des halben Abstandes dieser Punkte ist.

Fällt man vom Mittelpunkt einer Hyperbel die Lote auf die Hyperbeltangenten, so liegen die Lotfußpunkte auf einer Lemniskate.

· Die Schleife von Fermat (1658) sieht ähnlich aus wie die Lemniskate, wird aber völlig anders konstruiert: Animation.

· Maria Gaetana Agnesi (1718 - 1799) beschrieb die Konstruktion der Versiera (Wendekurve).

· Die Schnecke des Etienne Pascal (1588 - 1651).

Hier gibt es noch eine zweite Art der Erzeugung und daneben noch die Animation.

· Auch eine Parabel dritten Grades (Kubische Parabel) lässt sich konstruktiv erhalten (17. Jahrhundert).

· Newton fand um 1676 die Serpentine