Beispiel: Checkliste zur Untersuchung einer rationalen Funktion:
Wir illustrieren anhand eines Beispiels, wie eine rationale Funktion
auf Definitionslücken, Nullstellen, Pole und Asymptoten untersucht wird.
Dazu suchen wir uns den Term
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x3 - x
5 x(x - 2)
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| (1) |
aus.
1.) Definitionslücken: Um sie zu erkennen und zu entfernen, muss so lange
gekürzt werden, bis Zähler und Nenner keine gemeinsamen Nullstellen mehr
besitzen. Der Nenner unseres Terms verschwindet für
x = 0
und x = 2.
Der Zähler ist an der Stelle 2 von Null verschieden, verschwindet aber an der Stelle 0
ebenfalls - hier haben wir eine gemeinsame Nullstelle von Zähler und Nenner!
Um kürzen zu können, heben wir im Zähler ein
x heraus und erhalten
Kürzen ergibt
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x2 - 1
5(x - 2)
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, |
| (3) |
womit sich die Stelle 0 als Definitionslücke erweist:
Zähler und Nenner von (3) besitzen nun keine gemeinsamen Nullstellen mehr.
Nach dieser Reparatur erhalten wir eine Funktion, die für alle
reellen x ¹ 2
definiert ist.
2.) Nullstellen: Sie sind die Nullstellen des Zählers von (3), also -1 und 1.
Um die Ordnungen der Nullstellen zu ermitteln, schreiben wir den Zähler als
(x + 1)(x - 1).
Jede Nullstelle entspricht nur einem Linearfaktor. Daher sind beide Nullstellen
von erster Ordnung.
3.) Polstellen: Sie sind die Nullstellen des Nenners von (3). Es
bleibt nur eine Nullstelle bei x = 2
übrig - hier liegt also ein Pol vor!
(Die Stelle 0, an der der Nenner des ursprünglichen Terms (1)
Null war, hat sich ja als Definitionslücke erwiesen und ist keine Polstelle).
Um die Ordnung des Pols zu ermitteln, müssen wir uns den
Nenner von (3) näher anschauen: Er besteht nur aus einem zur
Stelle 2 gehörenden Linearfaktor,
und daher ist unser Pol von erster Ordnung.
4.) Asymptoten:
Eine Asymptote haben wir bereits im vorigen Punkt gefunden: Es ist die
zu Polstelle gehörende,
durch die Gleichung x = 2
beschriebene, zur x-Achse parallele
Gerade.
Um das Verhalten im Unendlichen zu ermitteln, vernachlässigen wir in Zähler und Nenner von (3)
alle Beiträge bis auf die jeweils höchsten Potenzen von
x. Wir erhalten
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x2
5x
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, |
| (4) |
was sich zu x/5
vereinfacht. Im Unendlichen nähert sich (3)
daher der linearen Funktion
g(x) = x/5
an. Deren Graph (d.h. die durch die Gleichung
y = x/5
beschriebene Gerade) ist die zweite Asymptote unserer Funktion.
Zu guter Letzt plotten
Sie die durch (1) definierte Funktion und die Asymptote!