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Eine Gleichung in einer Variablen (Unbekannten) x
ist eine ''Behauptung'' der Form
|
LinkeSeite = RechteSeite, |
| (1) |
wobei LinkeSeite und RechteSeite Terme sind, die von x abhängen.
Dabei steht x für ein - zunächst beliebiges - Element
einer Menge G (Grundmenge), die zusätzlich zur Gleichung angegeben sein muß.
Wird die Grundmenge nicht eigens erwähnt, so
wird üblicherweise angenommen, daß sie gleich der Menge R der reellen Zahlen
ist.
Eine Lösung der Gleichung (1)
ist ein Element x Î G, für welches die ''Behauptung'' LinkeSeite = RechteSeite
eine wahre Aussage ist.
Die Menge aller Lösungen einer
Gleichung heißt Lösungsmenge und wird üblicherweise mit
L bezeichnet. Sie kann ein oder mehrere (sogar unendlich viele) Elemente enthalten
oder auch leer sein.
Achtung: Die Variable (Unbekannte) wird zwar oft x genannt,
kann aber auch mit anderen Buchstaben bezeichnet werden.
Beispiel: x + 2 = 5 über G = R =
Menge der reellen Zahlen.
Bedeutung: Diese ''Behauptung'' ist nur dann eine wahre Aussage,
wenn x eine reelle Zahl ist, deren Summe mit der Zahl 2 die Zahl 5 ergibt.
Es gibt nur eine Zahl x, die diese Eigenschaft hat, nämlich die
Zahl 3. Sie ist daher die (einzige) Lösung.
(Die kurze Schreib- oder Sprechweise dafür ist:
''Die Lösung der Gleichung ist x = 3.'')
Die Lösungsmenge ist L = {3}.
Beispiel: n + 1 = n über G = N =
Menge der natürlichen Zahlen.
Bedeutung: Diese ''Behauptung'' ist nur dann eine wahre Aussage, wenn
n eine natürliche Zahl ist, deren Summe mit der Zahl 1 wieder sie selbst
ist. Das ist natürlich für keine Zahl der Fall: die ''Behauptung''
ist immer falsch. Folglich hat die Gleichung keine Lösung. Die
Lösungsmenge ist leer, L = { }.
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Falls Sie mit dem
Thema
Schwierigkeiten
haben, hilft Ihnen
vielleicht der kleine
"Gleichungen - ein
erster Überblick"
weiter.
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Beispiel: r2 = 4
über G = R.
Bedeutung: Diese ''Behauptung'' ist nur dann eine wahre Aussage, wenn
r eine reelle Zahl ist, deren Quadrat 4 ist. Das ist
für die Zahl 2 der Fall, aber auch für die Zahl -2.
Die Gleichung hat zwei Lösungen, r = -2 und r = 2. (Das
kann abgekürzt als r = ±2 geschrieben werden).
Die Lösungsmenge ist L = {-2, 2}.
Beispiel: 2 ( x + 1 ) = 2 x + 2
über G = R.
Bedeutung: Nach Ausmultiplizieren der Klammer ist ersichtlich, daß
diese "Behauptung" immer, d.h. für alle x Î G, eine wahre Aussage ist.
Die Lösungsmenge ist gleich der Grundmenge, L = G. Solche Aussagen haben
wir bereits in einem früheren Kapitel kennengelernt: Es sind Identitäten.
Von diesem Blickwinkel aus betrachtet, ist eine
Identität eine Gleichung, die immer eine wahre Aussage
darstellt.
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Identitäten
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Zum Seitenanfang | |
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Manche Gleichungen lassen sich leicht lösen. Die wichtigste
Lösungstechnik
besteht darin, Gleichungen so verändern, daß
die ''Behauptung'', die sie darstellen, bestehen bleibt.
Solche Veränderungen heißen Äquivalenzumformungen.
Eine Äquivalenzumformung besteht darin, die linke und die rechte
Seite einer Gleichung auf gleiche Weise abzuändern. Diese Änderung muß allerdings
umkehrbar sein: es muß möglich sein, die ursprüngliche Gleichung
durch eine weitere Umformung zurückzugewinnen. Dann enthalten die ursprüngliche
und die veränderte Gleichung dieselbe Information (sie sind zueinander
''äquivalent'') und haben dieselbe Lösungsmenge.
In der Praxis werden Äquivalenzumformungen benützt, um Gleichungen Schritt für Schritt
zu vereinfachen, ohne die Lösungsmenge zu verändern.
Bei linearen Gleichungen gelingt es immer, nach wenigen Schritten
zu einer Gleichung zu gelangen, die die Lösung unmittelbar angibt.
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Die wichtigsten Äquivalenzumformungen sind:
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-
Zu beiden Seiten einer Gleichung denselben Term addieren.
(Spezialfall: auf beiden Seiten dieselbe Zahl addieren oder subtrahieren).
-
Beide Seiten mit demselben Term (der immer von Null verschieden sein muß) multiplizieren.
(Spezialfall: beide Seiten mit einer von Null verschiedenen Zahl multiplizieren
oder durch eine solche zu dividieren).
All diese Umformungen können wieder rückgängig gemacht werden und
verändern den Informationsgehalt einer Gleichung nicht.
Zur Dokumentation des Lösungswegs ist es üblich, die Veränderungen,
die an einer Gleichung im nächsten Schritt vorgenommen werden,
rechts davon, nach einem senkrechten Strich, zu notieren.
Beispiel:
Gegebene Gleichung: 2 x - 3 = x
Lösungsweg:
2 x - 3 = x | + 3 (zu beiden Seiten wird die Zahl 3 addiert)
2 x = x + 3 | - x (von beiden Seiten wird der Term x subtrahiert)
x = 3 (hier haben wir die Lösung!)
Dieser Lösungsweg fördert also zusätzlich zur gegebenen Gleichung
noch zwei andere Gleichungen zutage, die dieselbe Lösungsmenge besitzen. Alle drei
Gleichungen sind gewissermaßen nur ''Versionen'' voneinander.
Die letzte Gleichung ist so einfach, daß sie uns die Lösung direkt
angibt.
Damit haben wir die gegebene Gleichung gelöst.
Die Lösungsmenge ist
L = {3}.
Warnung: Das Quadrieren beider Seiten einer Gleichung ist keine
Äquivalenzumformung!
Beispiel: x = 2 ist eine sehr einfache Gleichung mit Lösungsmenge
L = {2}. Werden beide Seiten quadriert, ergibt sich die
Gleichung x2 = 4.
(Diese haben wir oben
in der Form r2 = 4
bereits als Beispiel
angeführt). Sie hat die Lösungsmenge L = {-2, 2}.
Also: die Gleichungen x = 2 und x2 = 4 haben nicht dieselbe
Lösungmenge!
Warnung: Beide Seiten einer Gleichung mit Null zu multiplizieren
ist keine Äquivalenzumformung, denn dies macht aus jeder Gleichung
die Aussage 0 = 0, woraus die ursprüngliche Gleichung nicht wieder
zurückgewonnen werden kann. Aus ihr kann auch keinerlei Rückschluß auf die
Lösung(en) der ursprünglichen Gleichung gezogen
werden.
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Im
Applet
Äquivalenz-
umformungen
können Sie
Ihren Blick für
äquivalente
Gleichungen
schärfen.
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Eine lineare Gleichung (in der Variablen x) ist eine Gleichung
der Form
wobei A, B, C und D vorgegebene (bekannte) Zahlen sind.
Lineare Gleichungen werden manchmal auch Gleichungen erster Ordnung genannt.
In den folgenden Betrachtungen wollen wir als Grundmenge die Menge R der
reellen Zahlen annehmen.
Drei Beispiele für lineare Gleichungen:
3 x + 2 = x - 1 (hier ist A = 3, B = 2, C = 1 und D = -1)
x + 3 = x (hier ist A = 1, B = 3, C = 1 und D = 0)
x - 1 = 0 (hier ist A = 1, B = -1, C = 0 und D = 0)
Typische Situationen
Manchmal vereinfachen sich Gleichungen, die zunächst recht kompliziert
aussehen, durch Äquivalenzumformungen zu linearen Gleichungen. Ein Beispiel:
Gegebene Gleichung: ( x + 1 )2 = x2 + 5
Lösungsweg: Zuerst Auflösen der Klammer auf der linken Seite.
x2 + 2 x + 1 = x2 + 5 | - x2
2 x + 1 = 5 | - 1
2 x = 4 | : 2
x = 2
womit sie gelöst ist. Da die x2-Terme
weggefallen sind, ist die Gleichung (obwohl sie zu Beginn gar nicht
danach aussah) linear.
Wie man anhand der Gleichung x = x + 1 sieht, kann es vorkommen,
daß die Lösungsmenge einer linearen Gleichung leer ist.
Wie man anhand der Gleichung 2 x + 1 = 2 x + 1 (die ja für
jede Zahl eine wahre Aussage darstellt), sieht, kann es vorkommen,
daß die Lösungsmenge gleich der ganzen Grundmenge ist.
Eine lineare Gleichung kann also auch unendlich viele Lösungen
haben!
Normalform der linearen Gleichung
Jede lineare Gleichung kann - durch Äquivalenzumformungen - auf die Form
gebracht werden, wobei a und b fixe (bekannte) Zahlen sind.
Über der Grundmenge G = R ergibt sich folgendes Schema:
-
Ist a = 0 und b = 0, so ist L = R (jede reelle Zahl ist Lösung).
-
Ist a = 0 und b ¹ 0, so ist L = { } (es gibt keine Lösung).
-
Ist a ¹ 0, so ist L = {- b/a} (es gibt genau eine Lösung,
nämlich
x =
- b/a).
Lineare Gleichungen über G = R haben also entweder
-
keine Lösung oder
-
eine einzige Lösung oder
-
werden von allen reellen Zahlen gelöst.
Kein anderer Fall kann auftreten!
Aus diesem Resultat können wir übrigens schließen, daß die Lösung
einer linearen Gleichung der Form (3), für die
a und b ganze Zahlen sind (und a ¹ 0),
eine Bruchzahl (rationale Zahl) ist.
Beispiel: 6 x + 4 = 0 hat die Lösung
x = - 4/6 = - 2/3 (Kürzen!)
Als Spezialfall kann sich eine ganze Zahl als Lösung ergeben.
Beispiel: 2 x - 6 = 0 hat die Lösung x = 6/2 = 3
(Kürzen!)
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rationale Zahlen
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Eine quadratische Gleichung
(auch Gleichung zweiter Ordnung genannt) ist eine Gleichung von der Form
bzw. eine, die auf diese Form gebracht werden kann.
Dabei sind a, b und c fixe (bekannte) Zahlen
(sie heißen Koeffizienten der Gleichung)
und a ¹ 0.
(Wäre a = 0, wäre die Gleichung ja in Wahrheit eine lineare).
Da a ¹ 0 ist, kann man beide Seiten der Gleichung durch a
dividieren.
Mit den Bezeichnungen b/a = p und c/a = q ergibt sich,
daß eine quadratische Gleichung auch immer in der Form
geschrieben werden kann. (Dies kann man auch als
Normalform der quadratischen Gleichung bezeichnen. Manchmal wird sie auch
p-q-Form
genannt.
Die Zahlen
p,
q
heißen Koeffizienten der Gleichung in Normalform oder
Parameter.
Sie "numerieren" gewissermaßen die Menge aller
quadratischen Gleichungen durch:
Für jede konkrete Wahl dieser Zahlen ist (5) eine
quadratische Gleichung).
Als Grundmenge G wollen wir die Menge R der rellen Zahlen annehmen.
Die einfachsten quadratischen Gleichungen sind:
-
x2 = 1 (sie besitzt zwei reelle Lösungen: ±1)
-
x2 = 0 (sie besitzt eine reelle Lösung: 0)
-
x2 = -1 (sie besitzt keine reelle Lösung)
Diese drei Beispiele charakterisieren,
was auch in allgemeineren Fällen passieren kann.
(Aufgabe: Bringen Sie sie in ihre jeweilige Normalform! Antworten:
x2 - 1 = 0,
das entspricht
p = 0 und
q = -1,
x2 = 0,
das entspricht
p = 0 und
q = 0,
x2 + 1 = 0,
das entspricht
p = 0 und
q = 1.)
Kleine Lösungsformel
Für die Lösungen einer quadratischen Gleichung, die in der Normalform
(5) vorliegt, gibt es eine
handliche Formel, die sogenannte (kleine) Lösungsformel.
Sie lautet
|
x1,2 = - p/2 ± |
| ________
Ö p2/4 - q
|
. |
| (6) |
| | | |
| |
| | |
Sie ist so wichtig, daß Sie wissen sollten, wo sie herkommt
(der Beweis benützt die Methode des
Ergänzens auf ein vollständiges Quadrat,
siehe nebenstehenden Button). Außerdem sollten
Sie versuchen, sie sich auswendig zu merken.
| | | |
der
Lösungsformel
| |
| | |
Sie hat folgende Bedeutung: Je nachdem, ob p2/4 - q
(also die Zahl unter dem Wurzelzeichen) negativ, 0 oder positiv
ist, gibt es keine, eine oder zwei Lösungen.
-
Ist p2/4 - q < 0, so steht unter dem Wurzelzeichen eine negative Zahl.
Da man (im Rahmen der reellen Zahlen) die Wurzel aus einer negativen Zahl
nicht ziehen kann, gibt es keine reelle Lösung. Die Lösungsmenge ist
leer, L = { }.
-
Ist p2/4 - q = 0, so steht unter dem Wurzelzeichen 0, und da Ö0 = 0
ist, gibt es eine einzige Lösung, x = - p/2. Die Lösungsmenge ist
L = {-p/2}. Die Lösungsformel gilt insofern, als sie
zwei gleiche Zahlen beschreibt: x1 = x2 = - p/2.
-
Ist p2/4 - q > 0, so steht unter dem Wurzelzeichen eine positive Zahl. In diesem
Fall gibt es zwei reelle Lösungen x1 und x2, die gerade
von der Lösungsformel angezeigt werden.
Die Lösungsmenge ist L = {x1, x2}, wobei
|
| |
|
|
|
- p/2 - |
| ________
Ö p2/4 - q
|
|
| (7) | |
|
|
- p/2 + |
| ________
Ö p2/4 - q
|
|
| (8) |
| |
|
Die Kombination p2/4 - q entscheidet also über die Zahl der Lösungen.
Sie wird Diskriminante genannt.
| | | |
Im
Applet
Quadratische
Gleichungen 1
können Sie den
Beweis der
Lösungsformel noch
einmal als Puzzle
durchspielen.
Im
Applet
Quadratische
Gleichungen 2
werden drei
Lösungsmethoden
einander
gegenübergestellt.
| |
| | |
|
Halten wir fest: Eine quadratische Gleichung hat entweder zwei, eine oder keine Lösung.
Wir werden uns später von einem anderen Blickwinkel mit quadratischen Ausdrücken
beschäftigen und einen geometrischen Grund dafür kennenlernen.
|
| | | |
geometrischer
Grund
| |
| | |
Beachten Sie beim Rechnen, daß die Wurzel aus einer reellen
(nicht-negativen) Zahl per Definition
immer ³ 0 ist.
(So hat etwa Ö4 nur einen Wert, nämlich 2,
während ± Ö4 für
± 2 steht, d.h. für die zwei Werte - 2 und 2).
Beispiel:
Gegebene Gleichung: x2 - 5 x + 6 = 0
(das entspricht p = - 5 und q = 6)
Die Lösungsformel ergibt
|
x1,2 = 5/2 ± |
| _______
Ö25/4 - 6
|
= 5/2 ± |
| ___
Ö1/4
|
. |
| (9) |
Da unter dem Wurzelzeichen eine positive Zahl auftritt (nämlich 1/4), gibt es zwei reelle
Lösungen, und es darf weitergerechnet werden.
Die Wurzel aus 1/4 ist gleich 1/2, und daher ergibt sich
x1,2 = 5/2 ±1/2, also
x1 = 5/2 - 1/2 = 2 und x2 = 5/2 + 1/2 = 3. Die Lösungsmenge ist
L = {2, 3}.
| | | |
Wurzel
immer
³ 0
| |
| | |
Beispiel:
Gegebene Gleichung: x2 - 2 = 0
(das entspricht p = 0 und
q = - 2)
Sie kann als x2 = 2 geschrieben werden, woraus sich die Lösungen
±Ö2 ergeben. Die Lösungsformel ist hier also gar nicht notwendig.
Wird sie dennoch benützt, so ergibt sich
|
x1,2 = 0 ± |
| ____
Ö0 + 2
|
= ±Ö2 |
| (10) |
Die Lösungsmenge ist L = {-Ö2, Ö2}.
Dieses Beispiel illustriert eine Tatsache, die auch aus der
Lösungsformel (6) ersichtlich ist:
Für ganzzahlige Koeffizienten
p,
q
enthalten die Lösungen Wurzeln aus rationalen Zahlen
(d.h. aus Brüchen, die in Spezialfällen ganze Zahlen sein können).
Sie sind daher im Allgemeinen
irrational. Nur in Einzelfällen (die allerdings häufig als
Beispiele ausgewählt werden) sind die auftretenden Wurzeln
selbst wieder rational (oder sogar ganzzahlig).
| | | |
rationale und
irrationale Zahlen
| |
| | |
Der Vietasche Satz
Unkonventionelle Fragestellung:
Geben Sie eine quadratische Gleichung an, die die Lösungen 1 und 2 hat!
Antwort:
Versuchen Sie's mit der Gleichung
Ohne jede Rechnung ist ersichtlich, daß sie für x = 1 eine wahre Aussage ist
(denn dann ist ja der erste der beiden Faktoren Null), und daß sie für x = 2 eine
wahre Aussage ist (denn dann ist der zweite der beiden Faktoren Null).
| | | |
| |
| | |
Um diesen einfachen Lösungsweg zu verschleiern, multiplizieren wir die Klammer aus und
finden
|
( x - 1 ) ( x - 2 ) = x2 - 3 x + 2. |
| (12) |
Beachten Sie, daß das keine Gleichung ist, sondern eine
Identität. Wir haben hier
einfach zwei Möglichkeiten, ein und dieselbe Sache darzustellen.
Dies können wir benützen, um die Gleichung (11) in der Form
anzuschreiben. Die linke Seite ist nach wie vor
das Produkt aus x - 1 und x - 2, nur sieht man das
jetzt nicht mehr so schnell. Folglich sind die Lösungen die Zahlen 1 und 2.
Mit dieser Methode zaubern LehrerInnen quadratische Gleichungen hervor, deren
Lösungen sie im Voraus kennen!
| | | |
Identitäten
| |
| | |
Hinter diesem Vorgang verbergen sich tiefere Zusammenhänge, die erst nach und nach beim
Fortschreiten des Stoffs klarer werden.
Um einen kleinen Vorgeschmack davon zu bekommen,
wiederholen wir das Argument, legen uns aber jetzt auf die Werte der Lösungen
nicht fest, sondern
bezeichnen sie lediglich mit
x1 und x2. Die quadratische Gleichung, die
x1 und x2
als
Lösungen hat, lautet
|
( x - x1 ) ( x - x2 ) = 0 . |
| (14) |
Wieder multiplizieren wir den Term auf der linken Seite aus und erhalten
|
( x - x1 ) ( x - x2 ) = x2 - ( x1 + x2 ) x + x1 x2 , |
| (15) |
und wieder ist das eine Identität: zwei Möglichkeiten, ein und
dieselbe Sache darzustellen. Daher kann die Gleichung (14) auch in der Form
|
x2 - ( x1 + x2 ) x + x1 x2 = 0 |
| (16) |
angeschrieben werden, und wieder wissen wir ohne weitere Rechnung, daß sie
die Lösungen x1 und x2 besitzt. Diese Gleichung
ist aber nichts anderes als die Normalform
(5), d.h. sie ist von der Form x2 + p x + q = 0 , wobei
Man kann die Lösungen, die herauskommen sollen, also vorgeben
und sich mit Hilfe dieser Formeln die Gleichung ausrechnen!
Diese Aussage heißt Satz von Vieta
(auch Vietascher Wurzelsatz genannt). Sie wird üblicherweise in der Form
angeschrieben.
In Worten ausgedrückt lautet sie:
Falls die quadratische Gleichung x2 + p x + q = 0
zwei reelle Lösungen x1 und x2 hat, so ist die Summe der beiden
Lösungen - p, und ihr Produkt ist q.
Der Satz gilt auch, wenn die Gleichung nur eine Lösung
(nämlich -p/2) hat und x1 = x2 ( = -p/2) gesetzt wird.
| | | |
quadratische
Funktionen
| |
| | |
Man kann den Vietaschen Satz übrigens auch durch direkte Rechnung beweisen, indem
die Lösungsformeln für x1 und x2 verwendet werden.
| | | |
Direkter
des Vietaschen Satzes
| |
| | |
Beispiel:
Die Gleichung x2 - 5 x + 6 = 0 , die
oben bereits betrachtet und gelöst wurde,
hat die Lösungen 2 und 3. Deren Summe ist 5 (also gerade das Negative von p = -5)
und ihr Produkt ist 6 (also gerade q).
Eine der hinter dem Vietaschen Satz liegenden Einsichten
ist die Tatsache, daß jeder Term
der Form x2 + p x + q,
sofern er für zumindest eine reelle Zahl x Null ist, als
Produkt von Linearfaktoren geschrieben werden kann.
(Ein linearer - genauer: linear-inhomogener - Term ist ein Ausdruck
der Form a x + b.
Er heißt auch Polynom erster Ordnung.
Ein Term der Form
x2 + p x + q
oder, ein bißchen allgemeiner,
a x2 + b x + c,
heißt quadratischer Term oder Polynom zweiter Ordnung).
| | | |
Polynome
| |
| | |
Aufgabe:
Schreiben Sie den Term x2 - 5 x + 6 als ein Produkt von Linearfaktoren!
Antwort: Die Lösungen der zugehörigen quadratischen Gleichung sind, wie schon
oben
berechnet, 2 und 3. Daher gilt die Identität
x2 - 5 x + 6 =
( x - 2 ) ( x - 3 ), was durch
Ausmultiplizieren der Klammern überprüft werden kann.
Die Beschäftigung mit Gleichungen hat uns also zu einer Methode geführt,
wie manche quadratische Ausdrücke in elementarere
Bestandteile ''zerlegt'' werden können.
Die beiden Linearfaktoren sind so etwas Ähnliches wie die Primfaktoren einer
natürlichen Zahl: Die Zahl 35 läßt sich als 5×7 schreiben, wobei
5 und 7 auch als ''Bestandteile'' gedeutet werden können.
| | | |
Primfaktoren
| |
| | |
Große Lösungsformel
Eine quadratische Gleichung kann auch in der Form (4), also
gegeben sein. Dabei muß, wie bereits festgestellt,
a ¹ 0 sein, und der Zusammenhang zur Normalform ist durch p = b/a und
q = c/a gegeben (was sich nach Division beider Seiten durch a ergibt).
Dann lautet die entsprechende (große) Lösungsformel
|
x1,2 = |
|
- b ± |
| ________
Ö b2 - 4 a c
|
|
|
|
| (22) |
Je nachdem, ob die unter dem Wurzelzeichen stehende Zahl b2 - 4 a c
negativ, 0 oder positiv ist, hat die Gleichung keine, eine oder
zwei reelle Lösungen. Die große ergibt sich aus der kleinen Lösungsformel,
indem einfach p = b/a und q = c/a eingesetzt wird.
Die Kombination b2 - 4 a c entscheidet also über die Zahl der Lösungen.
Sie übernimmt die Rolle, die bei der kleinen Lösungsformel
die Kombination p2/4 - q gespielt hat und wird, wie diese,
Diskriminante genannt.
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| |
| | |
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Zum Seitenanfang | |
| | |
Neben den linearen und den quadratischen Gleichungen gibt es zahlreiche weitere Typen,
etwa:
Kubische Gleichungen (Gleichungen dritter Ordnung), wie:
|
2 x3 - 3 x2 + 5 x - 7 = 0 |
| (23) |
Bruchgleichungen, wie:
Wurzelgleichungen, wie:
|
|
| ____
Öx + 1
|
= |
| _____
Öx2 - 5
|
|
| (25) |
und viele mehr. Einige Namen wollen wir noch erwähnen:
| | | |
Funktionen dritter Ordnung
| |
| | |
- Gleichungen, die darin bestehen, ein Polynom gleich Null zu setzen,
heißen algebraische Gleichungen. Algebraische Gleichungen erster und zweiter Ordnung
sind lineare (s.o.) und quadratische Gleichungen
(s.o.). Allgemeinen Betrachtungen über algebraische Gleichungen
beliebiger Ordnung ist ein eigenes Kapitel gewidmet.
- Gleichungen, für die man nur ganzzahlige
Lösungen sucht (d.h. für die als Grundmenge
G - siehe oben - die Menge
Z der ganzen Zahlen angenommen wird),
heißen diophantische Gleichungen.
- Ein weiterer Typ sind die Exponential- und logarithmische Gleichungen, die
ebenfalls später betrachtet werden.
All diese Gleichungen können im Prinzip mit ähnlichen Methoden behandelt werden, die
wir bereits kennengelernt haben (nicht immer erfolgreich, denn oft läßt sich
die Lösung - obwohl sie existiert - nicht mit elementaren Mitteln
angeben). Allerdings tritt manchmal eine Problematik auf, die wir
noch erwähnen
müssen.
Definitionsmenge
| | | |
algebraische Gleichungen
(in Vorbereitung)
Exponential- und logarithmische Gleichungen
| |
| | |
Es kann passieren, daß eine Gleichung nicht für alle Elemente der Grundmenge G einen
Sinn ergibt. Falls etwa im Beispiel der Bruchgleichung
(24) die Grundmenge als R angenommen
wird, so tritt für x = - 6 und x = 0 ein Problem auf: In beiden Fällen wird
durch 0 dividiert, was eine Operation darstellt, die gar nicht definiert ist!
Für diese beiden Werte von x kann also gar nicht
gefragt werden, ob die durch die Gleichung dargestellte ''Behauptung'' wahr oder falsch ist,
denn diese Behauptung ist schlicht sinnlos, stellt keine
mathematisch wohldefinierte Fragestellung dar.
In solchen Fällen hat sich eingebürgert, die problematischen Werte aus der Grundmenge G
herauszunehmen und die
so entstehende (kleinere) Menge als Definitionsmenge D zu bezeichnen.
Nur Elemente dieser Menge kommen als Lösungen in Frage.
(Die Idee der Definitionsmenge besteht also darin,
jene Werte für x, die eigentlich gar nicht in der Grundmenge
enthalten sein sollten, zu verwerfen. Manchmal ist es aber recht schwierig, sie zu ermitteln. Daher
wird mit gutem Grund zwischen den beiden Mengen G und D unterschieden).
Der Name der Definitionsmenge rührt daher, daß sie jene Elemente der Grundmenge
enthält, für die beide Seiten der Gleichung wohldefiniert sind.
| | | |
Division durch Null
nicht definiert
| |
| | |
Im Fall der Bruchgleichung (24) mit G = R ist
D = R \ {- 6, 0}, oder, anders angeschrieben,
D = {x Î R | x ¹ - 6 und x ¹ 0},
denn für
x = - 6 ist die linke Seite
nicht definiert, und für
x = 0 ist die rechte Seite nicht definiert.
Ganz allgemein gilt für Bruchgleichungen: die auszuschließenden Werte sind
gerade jene, für die zumindest ein Nenner Null wird (was natürlich selbst wieder auf
eine oder mehrere Gleichungen vom Typ
Nenner = 0 führt).
Ein ähnliches Problem stellt sich bei der Wurzelgleichung (25).
Die beiden Terme unter der Wurzel müssen ³ 0 sein, damit die Gleichung überhaupt einen
Sinn macht. Mit G = R ist die Definitionsmenge
D = {x Î R | x + 1 ³ 0 und
x2 - 5 ³ 0}.
Lösungsmethoden
| | | |
das Symbol \
(Komplementärmenge)
| |
| | |
Wie löst man solche Gleichungen? Gehen wir kurz die drei Beispiele
(23) - (25) durch:
Kubische Gleichungen wie (23) werden später
behandelt. Wir werden im ersten Funktionenkapitel eine einfache graphische
Methode entwickeln, die auf Näherungslösungen führt.
Im zweiten Funktionenkapitel werden wir in einem Exkurs
Möglichkeiten kennen lernen, in gewissen Fällen exakte Lösungen zu finden.
Generell werden wir "algebraische Gleichungen" (s.o.) in einem eigenen Kapitel behandeln.
Im Fall der Bruchgleichung (24) kommt man mit Äquivalenzumformungen
(siehe oben)
weiter: Beide Seiten dürfen mit
x ( x + 6 ), also dem
Produkt aller vorkommenden Nenner, multipliziert werden, denn wir
haben vorausgesetzt, daß x in der Definitionsmenge liegt, und
wenn dies der Fall ist, ist sowohl x ¹ 0 als auch x + 6 ¹ 0.
Das war ja gerade die Definition der Definitionsmenge! Zur Erinnerung:
D = {x Î R | x ¹ - 6 und x ¹ 0}.
Es ergibt sich
die Gleichung
x (x + 3 ) = ( x + 6 ) ( x - 1), welche
nach Ausmultiplizieren der Klammern x2 + 3 x = x 2 + 5 x - 6
lautet.
Diese Gleichung kann durch weitere Äquivalenzumformungen gelöst werden:
x2 + 3 x = x 2 + 5 x - 6 | - x2
3 x = 5 x - 6 | - 5 x
- 2 x = - 6 | : (- 2)
x = 3
Da 3 Î D,
ist dies die (einzige) Lösung, L = {3}.
Im Fall der Wurzelgleichung (25)
weiß man keinen anderen Weg, als die
Gleichung in einer Weise zu ändern, die keine Äquivalenzumformung
ist.
Dies kann zu ''scheinbaren'' Lösungen führen, die in Wahrheit keine sind.
Wenn wir beide Seiten von (25) quadrieren (was keine
Äquivalenzumformung darstellt, siehe obige Warnung), so vereinfacht sie sich zu x + 1 = x2 - 5.
Dies ist eine quadratische Gleichung. Sie kann zu x2 - x - 6 = 0 umgeformt
werden, woraus sich, nach Anwenden der Lösungsformel, die Lösungen
x1,2 = 1/2 ± 5/2, also x1 = - 2 und x2 = 3 ergeben.
Aber: Diese zwei Zahlen sind nicht unbedingt Lösungen der gegebenen Gleichung, denn
wir haben ja eine ''unerlaubte'' Operation ausgeführt und dabei möglicherweise
Information verloren!
Ein kurzer Check zeigt, daß die Zahl -2 gar nicht in der Definitionsmenge
liegt, denn weder x + 1 ³ 0 noch x2 - 5 ³ 0
gelten für x = -2.
Setzt man x = -2 in die gegebene Gleichung (25) ein,
so ergibt sich eine sinnlose Aussage, in der Wurzeln aus negativen Zahlen
vorkommen. Die Zahl 3 hingegen ist in D enthalten (für x = 3
gilt sowohl x + 1 ³ 0 als auch x2 - 5 ³ 0). In die
gegebene Gleichung (25) eingesetzt,
ergibt sich die Aussage Ö4 = Ö4, was einfach 2 = 2 bedeutet.
Die Zahl 3 ist also die einzige Lösung des Problems, L = {3},
ungeachtet dessen, daß im Laufe der Rechnung zwei ''Lösungen'' aufgetreten sind.
Daraus können wir lernen: Sobald Operationen angewandt werden, die zwar
beide Seiten einer Gleichung auf gleiche Weise behandeln,
and nicht umkehrbar (und folglich keine Äquivalenzumformungen) sind,
sind alle ab diesem Punkt auftretenden ''Lösungen'' nur als
Kandidaten zu behandeln. Im Zweifelsfall ist die sicherste Methode
immer, alle Kandidaten in die Gleichung einzusetzen und zu überprüfen,
ob die entstehenden Aussagen einen Sinn machen und, wenn ja,
ob sie wahr oder falsch sind.
Der Computer hilft...
| | | |
graphisch lösen
Nullstellen von Polynomen
algebraische Gleichungen
(in Vorbereitung)
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... heute in der Praxis beim Lösen von Gleichungen. Dennoch ist ein Verständnis
der zugrundeliegenden mathematischen Tatsachen und Probleme unabdingbar, wenn
unbeabsichtigte Fehler in den Anweisungen an ein Programm vermieden werden sollen.
Insbesondere können Programme nicht immer gut mit Gleichungen umgehen, deren
Definitionsmenge von der Grundmenge abweicht. Wir werden auf die Verwendung dieser
Hilfen und auf geeignete Methoden (insbesondere das so genannte Newton-Verfahren zur
nährungsweisen Lösung von Gleichungen) später näher eingehen.
Wer bereits an dieser Stelle ein Programm, das Gleichungen lösen kann, kennenlernen
will, sei auf das im Rahmen des
MathServ Project
an der Vanderbilt University
zur Verfügung gestellte Web-Angebot verwiesen. Der Button
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Numerische
Verfahren 1
(in Vorbereitung)
Newton-Verfahren
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öffnet ein Browser-Fenster, in dem eine Web-Seite geladen wird,
die Eingabefelder zum Lösen von Gleichungen enthält. Die Berechnung
übernimmt das Computer-Algebra-System
Mathematica.
Ist die Gleichung nicht von zu hoher Ordnung, werden die exakten Lösungen
("symbolic roots" genannt) berechnet.
Außerdem werden die Lösungen numerisch näherungsweise berechnet
(und eine Graphik, die nicht Thema dieses Kapitels ist, wird ausgegeben).
Das an der Universität Bayreuth entwickelte Java-Applet
Nullstellen von Polynomen bis 4. Grades
ist ein rein numerisch arbeitendes Werkzeug. Es berechnet nicht die exakten Lösungen,
sondern lediglich (sehr genaue) Näherungswerte. (Achtung: die eingegebene Gleichung
muß zumindest von zweiter Ordnung sein).
Aufgabe: Berechnen Sie die Lösungen der Gleichung
x2
- 5 x - 2 = 0
zuerst unter Verwendung der kleinen Lösungsformel (siehe oben)
und danach mit Hilfe dieser beiden Computerwerkzeuge!
Vergleichen Sie die Resultate!
In unserer Ressourcensammlung
Mathe-Links und Online-Werkzeuge
finden Sie unter der Kategorie Online-Werkzeuge > Gleichungen
zahlreiche weitere im Web angebotene Tools, die beim Lösen
(verschiedener Typen)
von Gleichungen behilflich sind bzw. es ganz übernehmen.
Verallgemeinerungen
In der Mathematik treten oft Probleme auf, in denen mehrere Gleichungen und
mehrere Variable (Unbekannte) eine Rolle spielen.
Der Fall einer Gleichung, in der mehrere Variable auftreten, ist besonders wichtig
für die Beschreibung geometrischer Sachverhalte (z.B. Kurven in der Ebene).
Im Fall mehrerer Gleichungen spricht man von Gleichungssystemen.
Beide Themen werden in späteren Kapiteln
behandelt.
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Kurven
(in Vorbereitung)
Gleichungs-
systeme
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