| Zerfallsprozess | Mathematisches Modell |
| Licht, das in eine dicke Schicht aus Glas eintritt, wird in exponentieller Weise abgeschwächt. (Dieser Prozess heißt Absorption). In einem konkreten Fall nehme die Intensität des Lichts pro (im Glas) zurückgelegtem Zentimeter um 5% ab. Um welchen Faktor wird die Intensität des Lichts durch eine 7 cm dicke Glasscheibe abgeschwächt? |
Nach einem Zentimeter ist die Intensität um den Faktor
1 - 0.05 = 0.95 gesunken. Bei einer
Eindringtiefe x
(in Zentimetern gemessen) beträgt sie
I = I0 × 0.95x, wobei I0 die Intensität des einfallenden Lichts ist. (Für sie wurde kein Wert angegeben, daher bezeichnen wir sie mit einem Symbol). Einsetzen von x = 7 ergibt I0 × 0.6983..., d.h. die Intensität wird durch die Glasscheibe (ungefähr) um den Faktor 0.698 (d.h. auf 69.8% ihres ursprünglichen Werts) abgeschwächt. Falls Sie unseren Wachtums-Rechner benutzen, um dieses Ergebnis nachzuvollziehen, geben Sie in das erste Textfeld einfach 1 ein! |
| Die Population einer vom Aussterben bedrohten Spezies besitzt noch 600 Individuen und sinkt (exponentiell und unabhängig vom Rhythmus der Jahreszeiten) jedes Jahr auf ein Drittel. Wie groß wird sie in zweieinhalb Jahren sein? |
Nach t Jahren
besitzt die Population
600 × (1/3)t = 600 × 3-t Individuen. Einsetzen von t = 2.5 (in einen der beiden Ausdrücke) ergibt 38.49..., d.h es werden noch (ungefähr) 38 Individuen übrig sein. |
| Die Population einer vom Aussterben bedrohten Spezies (deren Fortpflanzung nicht vom Rhythmus der Jahreszeiten abhängt) besitzt noch 600 Individuen und sinkt (exponentiell) jedes Jahr um ein Drittel. Wie groß wird sie in zweieinhalb Jahren sein? |
Um 1/3 zu sinken ist dasselbe wie auf 2/3 zu sinken.
Nach t Jahren
besitzt die Population daher
600 × (2/3)t Individuen, (was auch als 600 × (3/2)-t geschrieben werden kann). Einsetzen von t = 2.5 ergibt 217.73..., d.h es werden noch (ungefähr) 218 Individuen übrig sein. |
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Radioaktive Altersbestimmung durch die Radiukarbonmethode:
Das Kohlenstoffisotop C14 zerfällt mit einer
Halbwertszeit von 5730 Jahren.
Während zu Lebzeiten eines Organismus das zerfallene
C14 durch die Atmosphäre "nachgeliefert" wird,
beginnt danach die exponentielle Abnahme dieses Isotops, d.h. der
C14-(Atom)Kerne. Nun seien im Ast eines Baumes zu Lebzeiten 10 Milliarden (1010) C14-Kerne vorhanden. Der Ast fällt in einen Sumpf und wird unter Luftabschluss viele Jahrtausende konserviert, während der der C14-Gehalt langsam abnimmt. Wie viele C14-Kerne sind noch vorhanden, wenn der Ast zu einer gegebenen Zeit später von Archäologen gefunden wird? |
Wir messen die Zeit zunächst in Intervallen von 5730 Jahren. Nach Ablauf von
x solcher Zeitintervalle sind noch
1010 × 2-x C14-Kerne vorhanden. Natürlich ist es bequemer, die Zeit in Jahren zu messen. Nach Ablauf von x unserer 5730-Jahr-Intervalle sind t = 5730 x Jahre vergangen, und daher sind nach t Jahren noch 1010 × 2-t/5730 C14-Kerne übrig. Daraus lernen wir überdies: Wird zur Beschreibung eines Zerfallsprozesses die Basis 2 verwendet, so können wir die Halbwertszeit als jene Konstante ablesen, durch die die Zeitvariable t im Exponenten dividiert wird. |
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Der allgemeine exponentielle Zerfallsprozess: Eine Größe n habe zu Beginn den Wert n0 und nehme exponentiell ab. Nach der Zeit s sei sie um den Faktor q (< 1) gesunken. Wir können auch sagen, in dieser Zeit ist sie auf ein p-tel ihres Werts gesunken, wobei p = 1/q (> 1) ist. Wie groß ist sie zu einer gegebenen Zeit t ? (Hierbei handelt es sich von der Struktur her um genau dieselbe Angabe wie beim vorigen Beispiel, nur haben wir uns auf keine konkreten Zahlen festgelegt). |
Nach Ablauf von x
Zeitintervallen der Dauer s
hat n den Wert
n0 qx. Während dieser x Zeitintervalle ist die Zeit t = s x vergangen. Daher hat n zur Zeit t den Wert n0 qt/s = n0 p -t/s. Beide Varianten sich gleich gut geeignet, den Prozess zu beschreiben. Wir können das auch als schreiben, was eine Exponentialfunktion vom Typ (3) darstellt. Sie kann (wahlweise) entweder
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