Beweise von (23) und (24)

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Beweise von (23) und (24):

Beweis von (23):

Wir fixieren a als Basis, betrachten eine beliebige positive Zahl b und bezeichnen deren Logarithmus (zur Basis a) als x = ^alog b. Das bedeutet, dass ihre Darstellung als Potenz von a die Form
b   =   a^x
hat. Ist k eine beliebige reelle Zahl, so folgt daraus
b^k   =   a^kx.
Das ist aber wieder eine Potenz von a, und deren Logarithmus ist gleich dem Exponenten kx, was nichts anderes als das Produkt von k mit dem Logarithmus von b ist. Auf diese Weise gelangen wir zu der Erkenntnis
^alog (b^k)   =   k ^alog b,
d.h. Formel (23).

Beweis von (24):

Wir betrachten zwei beliebige positive Zahlen b, c und bezeichnen deren Logarithmen als x = ^alog b und y = ^alog c. Das bedeutet, dass ihre Darstellung als Potenzen von a die Form b = a^x und c = a^y hat. Nun kann der Quotient b/c = a^x/a^y dieser Zahlen gemäß Regel (1) als a^x - y geschrieben werden. Das ist aber wieder eine Potenz von a, und deren Logarithmus ist gleich dem Exponenten x - y, was nichts anderes als die Differenz der Logarithmen von b und c ist. Auf diese Weise gelangen wir zu der Erkenntnis
^alog (b/c)   =   ^alog b - ^alog c,
d.h. Formel (24).