Beweis, dass Formel (5) für alle t gilt

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Beweis, dass Formel (5) für alle t gilt:

Wir beweisen, dass dass Formel (4) nicht nur für natürliche, sondern auch für alle (positiven) reellen Zeitenangaben t anwendbar ist.

1. Beweis für rationale t:

Der Beweis zerfällt in zwei Teile. Zuerst führen wir ihn für alle (positiven) rationalen t. Dazu teilen wir eine Stunde in n gleich lange Zeitintervalle, wobei n eine natürliche Zahl ist (n = 1, 2, 3,...). Aufgrund der Eigenschaft 1

("In gleich langen Zeitintervallen vergrößert sich die Zahl der Bakterien um den gleichen Faktor")

vergrößert sich die Kultur während jedes dieser Invervalle um denselben Faktor q. Nach n solchen Intervallen hat sich die Kultur um den Faktor qⁿ vergrößert. Andererseits ist während dieser n Zeitintervalle insgesamt 1 Stunde vergangen, d.h. gemäß Eigenschaft 3

("Während jeder Stunde verdoppelt sich die Zahl der Bakterien")

hat sich die Kultur verdoppelt. Es gilt also qⁿ = 2, woraus
q = 2^1/n
folgt. Nun betrachten wir m dieser Intervalle. Insgesamt dauern sie eine Zeitspanne von m/n Stunden lang, was der Zeitangabe
t = m/n
entspricht. Nun erinnern wir uns, dass jede (positive) rationale Zahl kann als Quotient m/n zweier natürlicher Zahlen geschrieben werden kann. Das bedeutet, dass, je nach Wahl von m und n, t jeden (positiven) rationalen Wert annehmen kann. Da sich die Kultur während jedes einzelnen Zeitintervalls um den Faktor q vergrössert, ist sie nach m Intervallen um den Faktor q^m gewachsen. Mit q = 2^1/n wird q^m = (2^1/n)^m = 2^m/n = 2^t. Für jedes positive rationale t gibt es daher nach t Stunden
1000 × 2^t Bakterien.
Das entspricht genau der Formel (4), wenn (positive) rationale t zugelassen werden.

2. Beweis für reelle t:

Der Schritt zu beliebigen reellen Zeitangaben t geschieht auf ähnliche Weise, wie wir früher in diesem Kapitel Potenzen mit reellen Exponenten definiert haben: Jedes irrationale t kann beliebig gut durch rationale Zeitangaben angenähert werden, und die entsprechenden Bakterienzahlen für diese rationalen Zeiten streben der gesuchten Größe der Kultur nach t Stunden zu. Letztere ist daher ebenfalls durch Formel (4) gegeben, wenn für t die gegebene (irrationale) Zeitangabe t eingesetzt wird.