Beweis, daß eine Menge nie zu ihrer Potenzmenge gleichmächtig ist

Kleinere Schriftzeichen

Beweis, daß eine Menge nie zu ihrer Potenzmenge gleichmächtig ist:

Erinnerung: Zwei Mengen heißen gleichmächtig, wenn jedes Element der einen Menge zu einem ''Partner'' oder ''Stellvertreter'' genau eines Elements der anderen Menge erklärt werden kann, so daß kein Element der zweiten Menge ''übrigbleibt''.

Nun sei M eine beliebige Menge. Jeder Versuch, die Elemente von M den Teilmengen von M in der geforderten Weise zuzuordnen, muß aus folgendem Grund scheitern:

Nehmen wir an, eine solche Zuordnung würde vorgeschlagen: zu jedem x Î M wird eine Teilmenge von M (die wir als M_x bezeichnen) bestimmt. Als Teilmenge von M ist jede der Mengen M_x ein Element der Potenzmenge von M. Nun können wir zeigen, daß es noch weitere Elemente der Potenzmenge (d.h. Teilmengen von M) gibt, die nicht unter den M_x vorkommen, z.B. die Menge

A = { x Î M | x Ï M_x } .
Um das im Detail einzusehen, nehmen wir versuchsweise an, es gibt ein x Î M, sodaß
M_x = A
ist. Ist nun x Î M_x oder x Ï M_x ?

Falls x Î M_x , so ist x per Definition nicht in A enthalten, also x Ï M_x. Dieser Fall führt auf einen Widerspruch, kann daher nicht auftreten.
Ist andererseits x Ï M_x , so ist x per Definition in A enthalten, also x Î M_x , was ebenso einen Widerspruch darstellt.

Folglich kann es kein solches x geben: Die Menge A kommt nicht unter den M_x vor!

Genau das war zu beweisen. Es gibt keine "Eins-zu-eins" Entsprechung zwischen den Elementen einer Menge und ihren Teilmengen - eine Menge ist nie zu ihrer Potenzmenge gleichmächtig, weil die Potenzmenge um so viel ''größer'' ist als die Menge selbst.