Beweis, dass (a1/q) p
=
(a p)1/q :
Wir zeigen, dass die
p-te Potenz der
q-ten Wurzel aus
a
gleich der q-ten Wurzel aus der
p-ten Potenz von
a
ist (wobei p und
q natürliche Zahlen sind und
a > 0 eine reelle Zahl ist).
Mit der Konvention, dass a1/q
die q-te Wurzel aus
a bezeichnet, ist diese
Aussage äquivalent zu
(a1/q) p
=
(a p)1/q .
Wir führen die Bezeichnung
x = a1/q
ein.
-
Damit ist die linke Seite dieser Gleichung gleich
x p.
-
Auf der rechten Seite ersetzen wir
a durch
x q
und erhalten
((x q) p)1/q.
Da p und
q natürliche Zahlen sind,
dürfen wir umformen:
(x q) p =
(x p) q.
Damit wird
((x q) p)1/q
=
((x p) q)1/q.
Wir verwenden die Identität
(u q)1/q
=
u
für
u =
x p und
erhalten
x p.
Daher sind die beiden Seiten der obigen Gleichung identisch.