Check von Rechenregel (2)

Check von Rechenregel (2):

Die Rechenregel

a^{m + n} = a^m aⁿ

(2)

war ursprünglich für den Fall gedacht, dass die Exponenten (Hochzahlen) m und n natürliche Zahlen sind. Nun dehnen die Definitionen (3) und (5) den Begriff der Potenz für beliebige ganzzahlige Exponenten aus. Um zu beweisen, dass Regel (2) auch dann gilt, wenn m und n ganze Zahlen sind, muss nicht mehr viel getan werden. Betrachten wir systematisch alle Vorzeichenkombinationen der Exponenten, die auftreten können:

m = 0 und/oder n = 0:
Wegen a⁰ = 1 ist Regel (2) trivial erfüllt.
m und n sind positiv:
Das ist der Fall natürlicher Exponenten, den wir hier als bereits bewiesen betrachten.

m und n sind negativ:
Mit m = -p und n = -q (und p, q > 0) lautet (2):

a^{-(p + q)} = a^-p a^- q .

Nach Bilden des Kehrwerts von linker und rechter Seite und Anwendung von (5) wird dieser Fall auf jenen mit natürlichen Exponenten, der bereits bewiesen ist, reduziert.

m und n haben verschiedenes Vorzeichen:
Das ist der einzige Fall, bei dem es überhaupt etwas zu beweisen gibt. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit nehmen wir an, dass m > 0 und n < 0 ist. Mit n = -q (für q > 0) wird Regel (2) zur Aussage

a^{m - q} = a^m a^- q .

Nun können zwei Fälle auftreten:

m ³ q:
Mit (5) reduziert sich diese Aussage auf a^m/a^q = a^{m
- q}, was auch in der Form a^m = a^{m
- q} a^q geschrieben werden kann. Da nun keine negativen Exponenten mehr auftreten, haben wir dieser Fall auf einen der obigen (bereits bewiesenen) Fälle zurückgeführt.
m < q:
In diesem Fall ist m - q negativ (daher q - m positiv). Durch zweimalige Anwendung von (5) bringen wir die obige Aussage zunächst in die Form 1/a^{q
- m} = a^m/a^q, woraus a^m a^{q
- m} = a^q folgt. Wieder treten keine negativen Potenzen auf, womit auch dieser Fall auf einen bereits bewiesenen zurückgeführt ist.

Damit ist Rechenregel (2) für ganzzahlige Exponenten m, n bewiesen.