Check der Regeln (2) und (5)

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Check der Regeln (2) und (5):

Wir zeigen, dass unter Verwendung der Definitionen (3) und (9)-(11) die Gültigkeit der Rechenregeln (2) und (5) für beliebige rationale Exponenten m, n folgt.

Mit m = p/q und n = r/s (wobei p, q ¹ 0, r und s ¹ 0 ganze Zahlen sind) wird (2) zur Aussage

a^{p/q
+ r/s} = a^p/q a^r/s ,

( 2' )

und Regel (5) lautet

a^-p/q =

a^p/q

( 5' )

Wir beweisen zuerst diese letzte Aussage: Sind p und q positiv, so ist sie mit (11) identisch und gilt daher per Definition. Haben p und q verschiedene Vorzeichen, so ist sie mit dem Kehrwert von (11) identisch und gilt daher ebenfalls. Für den verbleibenden Fall p = 0 entsteht mit (3) die gültige Identität 1 = 1, womit wir ( 5' ) - und damit (5) für beliebige rationale Exponenten - bewiesen haben.

Nun wenden wir uns (2) in der obigen Fassung ( 2' ) zu. Die Fälle, in denen p oder r (oder beide) Null sind, führen wieder auf gütlige Identitäten. Damit kommen wir zum Kern der Angelegenheit: dem Beweis von ( 2' ) für den Fall, dass p, q, r und s natürliche Zahlen sind. Dazu erheben wir die linke und die rechte Seite von ( 2' ) zur qs-ten Potenz:

(a^{p/q
+ r/s})^qs = (a^p/q)^qs (a^r/s)^qs .

Durch das Bilden der qs-ten Wurzel können wir die ursprüngliche Aussage wieder zurück gewinnen, wodurch wir diese Form als zu ( 2' ) äquivalent (gleichwertig) betrachten können. Auf der rechten Seite haben wir die Exponenten bereits auf die einzelnen Faktoren verteilt. (Da qs eine natürliche Zahl ist, waren wir dazu berechtigt). Aufgrund der Definitionen (9) und (10) und unter Ausnutzung der Annahme, dass p, q, r und s natürliche Zahlen sind, wird die rechte Seite zu a^ps
+
rq. Nun betrachten wir die linke Seite: Wir bringen die beiden Brüche im Exponenten auf den gemeinsamen Nenner qs und erhalten ( a^{( ps
+
rq)/qs})^qs. Nach einer neuerlichen Anwendung der Definitionen (9) und (10) wird die linke Seite zu a^ps
+
rq, was genau gleich der rechten Seite ist!

Die verbleibenden möglichen Vorzeichenkombinationen der Exponenten können unter Verwendung der bereits bewiesenen Regel ( 5' ) auf den Fall positiver Exponenten zurückgeführt werden. Die Argumentation verläuft wortwörtlich wie für die Fälle 3 und 4 beim Check von Regel (2) für ganzzahlige Exponenten, den wir früher in diesem Kapitel durchgeführt haben und hier nicht mehr wiederholen wollen.

Damit ist Rechenregel (2) für rationale Exponenten m, n bewiesen.