Es wird durch folgende einfache Regel konstruiert:
Jede Zeile beginnt und endet mit 1.
Der Wert jeder anderen Eintragung ist die Summe der beiden
schräg über ihr stehenden.
Versuchen Sie, die fehlenden Eintragungen einzufügen!
Was das Pascalsche Dreieck so erstaunlich macht:
Die n-te Zeile dieses Zahlenschemas
enthält genau die Koeffizienten, die beim Ausmultiplizieren von
(a + b)n
auftreten, wobei mit
n = 0
zu zählen begonnen wird:
Die nullte Zeile entspricht der Identität
(a + b)0 = 1
Die erste Zeile entspricht der Identität
(a + b)1 = a + b
Die zweite Zeile entspricht der Identität
(a + b)2 = a2 + 2 ab + b2
Die dritte Zeile entspricht der Identität
(a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3
usw.
Erkennen Sie die im Dreieck auftretenden Zahlen wieder?
Vielleicht fällt es Ihnen ein bißchen schwer, denn
wenn ein Koeffizient gleich 1 ist, wird er nicht eigens angeschrieben, und daher sehen Sie
keine Einser in dieser Aufstellung.
Fügen wir die Einser aber ein (schreiben wir also z.B.
a als
1 a, d.h.
1 × a), heben alle Koeffizienten
hervor und rücken die
Terme ein bißchen zurecht, so sieht die Aufstellung so aus:
Die nullte Zeile entspricht der Identität
(a + b)0 =
1
Die erste Zeile entspricht der Identität
(a + b)1 =
1a + 1b
Die zweite Zeile entspricht der Identität
(a + b)2 =
1a2 + 2ab + 1b2
Die dritte Zeile entspricht der Identität
(a + b)3 = 1a3 + 3a2b + 3ab2 + 1b3
usw.
Hier haben wir die Zahlen des Pascalschen Dreiecks!
Die Konstruktion kann beliebig weit fortgesetzt werden.
Das Pascalsche Dreieck ist unendlich groß.
Man kann beweisen - obwohl wir das hier nicht tun -, daß es immer
die richtigen Koeffizienten liefert.