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Bruchrechnen mit Termen:

Das Rechnen mit Bruchtermen gehorcht denselben Regeln wie das Rechnen mit Zahlen. Wir wollen annehmen, daß nur solche Zahlen in Bruchterme eingesetzt werden, für die alle Nenner von Null verschieden sind.

Die wichtigsten dieser Regeln (Identitäten) sind:

x
x
   =  1 ,                    a x
b x
 = a
b
  ,
(1)
(kürzen und erweitern), weiters
a
b
   x
y
   =   a x
b y
  ,                  
a
b
x
y
  =   a y
b x
  ,
(2)
(multiplizieren von Brüchen, Doppelbrüche),
a
c
  +  b
c
 = a + b
c
(3)
(addieren von Brüchen mit gleichem Nenner) und
a
b
  +  x
y
   =   a y + b x
b y
  .
(4)
Letzteres ist eine ganz allgemeine Regel für das Addieren von Brüchen, das insbesondere dann angewandt wird, wenn die Nenner verschiedenen sind und in keiner (leicht ersichtlichen) Beziehung zueinander stehen.

Jede dieser Variablen steht zunächst für eine Zahl (die beliebig ist, mit der einzigen Einschränkung, daß jeder Nenner von Null verschieden sein muß), kann aber auch für einen ganzen Term stehen. So hat z.B. der Term

3 + u
u2 - 1
  +   u2 + 5
u
(5)
dieselbe Struktur wie (4), nur ist anstelle von a der Term 3 + u, anstelle von b der Term u2 - 1, anstelle von x der Term u2 + 5 und anstelle von y der Term u einzusetzen. Es ergibt sich also
(3 + u) u + (u2 - 1) (u2 + 5)
(u2 - 1) u
(6)
und, nach Ausmultiplizieren der Klammern im Zähler,
u4 + 5 u2 + 3 u - 5
(u2 - 1) u
  .
(7)
Die Klammer im Nenner kann auch ausmultipliziert werden (was allerdings keine Vereinfachung mit sich bringt). Generell sollte man Klammern im Nenner eines Bruchs eher beibehalten.

Für das Rechnen mit Bruchtermen ist es nützlich, den Begriff des gemeinsamer Teilers in ählicher Weise zu benützen wie für ganze Zahlen. (Er ist uns bei der Bruchrechnung mit Zahlen im Kapitel Zahlen bereits begegnet). Ein gemeinsamer Teiler zweier (oder mehrerer) Terme ist ein gemeinsamer ''Bestandteil'' hinsichtlich Multiplikation, also ein gemeinsamer Faktor. So haben die beiden Terme a2 x4 (a + x)2 und a x6 (a + x) mehrere gemeinsame Teiler, wie z.B. a, x, x4 und a + x. Der Term a x4 (a + x) ist so etwas wie der ''größte gemeinsame Teiler'' der beiden gegebenen Terme.

Betrachten wir ein Beispiel, warum das wichtig ist: Manchmal ist es ratsam, bei der Addition von Brüchen nicht die Regel (4) zu verwenden.Die beiden Nenner des Terms

x2 + 1
x (x + 1)2
  + x - 1
x (x + 1)
(8)
enthalten einen gemeinsamen Teiler, nämlich x + 1. Wie im Fall der Bruchrechnung mit Zahlen ist der sinnvollste gemeinsame Nenner, auf den die beiden Brüche gebracht werden, nicht das Produkt der einzelnen Nenner (wie es in der Regel (4) vorgesehen ist), sondern ''etwas weniger'', nämlich x (x + 1)2. Die sparsamste Umformung führt über eine entsprechende Erweiterung des zweiten Bruchs auf
x2 + 1
x (x + 1)2
  + (x + 1) (x - 1)
x (x + 1)2
(9)
was sich zu
x2 + 1 + (x + 1) ( x - 1)
x (x + 1)2
(10)
und schließlich - nach Ausmultiplizieren der Klammer im Zähler - zu
2 x2
x (x + 1)2
(11)
vereinfacht. Als letzten Schritt können wir noch durch x kürzen und erhalten
2 x
(x + 1)2
  .
(12)
Machen Sie die Probe, indem Sie in (8) und (12) x = 2 einsetzen! Die sture Anwendung der Regel (4) hätte zu demselben Ergebnis geführt, allerdings nach einer wesentlich längeren Rechnung. (Versuchen Sie es!) Wir können daraus lernen, daß ein bewußtes Betrachten der Struktur von Termen Rechenarbeit sparen kann.

Auch beim Kürzen von Bruchtermen spielt der Begriff des gemeinsamen Teilers eine Rolle. So ist z.B. der letzte Schritt der Rechnung, die wir gerade gemacht haben, also

2 x2
x (x + 1)2
   =   2 x
(x + 1)2
  ,
(13)
möglich, weil x ein gemeinsamer Teiler der beiden Terme 2 x2 und x (x + 1)2 ist.

Gemeinsame Teiler zweier Terme sind leider nicht immer leicht erkennbar. So ist z.B. der Bruch

x2 - 4
(x + 2)2
(14)
auf den ersten Blick nicht weiter zu vereinfachen. Der Zähler kann jedoch als Produkt geschrieben werden,
x2 - 4   =  (x + 2) (x - 2),
(15)
sodaß sich x + 2 als gemeinsamer Teiler von Zähler und Nenner herausstellt. Der Bruch (14) vereinfacht sich damit zu
x - 2
x + 2
  .
(16)
Wir sehen, daß das Problem, gemeinsame Teiler zu finden, in der Praxis bedeutet, Terme zu faktorisieren. Einfache Situationen dieses Typs können mit ein bißchen Erfahrung leicht erkannt werden - schwierige stellen auch die Profis vor große Probleme.