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Rechnen mit Einheiten:

Variable stehen nicht nur für Zahlen, sie können auch Einheiten tragen. Steht L für eine Länge, so ist ein möglicher konkreter Wert für L keine reine Zahl, sondern eine Zahl mit einer Einheit. So kann L etwa 3.86 Kilometer groß sein. Dieselbe Länge kann auch als 3860 Meter geschrieben werden. Um diese zwei verschiedenenen Darstellungen derselben Größe zu unterscheiden, muß die Einheit stets angegeben werden. In unserem Beispiel können wir schreiben:
L = 3.86 km = 3860 m
(1)
Einheiten für dieselbe Größe können ineinander umgerechnet werden (z.B. 1 km  = 1000 m).

Variablen, die Einheiten tragen, heißen dimensionsbehaftete Größen (z.B. Länge, Fläche, Volumen, Zeit, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Masse, Kraft, Energie, Dichte,...). Variablen, die lediglich für Zahlen stehen, heißen dimensionlose Größen (z.B Größen, die für eine Anzahl von Objekten stehen, oder der Quotient zweier Größen gleicher Dimension: ist f die gesamte Fläche des Festlandes auf der Erdoberfläche und F die von allen Ozeanen eingenommene Fläche, so ist der Quotient f /F dimensionslos). In der Mathematik ist es nicht immer notwendig, Einheiten zu berücksichtigen. So kann z.B. ein Dreieck mit Seitenlängen 3, 4 und 5 betrachtet werden. In der Physik (und in physikalischen Anwendungen der Mathematik) macht das keinen Sinn - dort wird man etwa auf ein Dreieck mit Seitenlängen 3 cm, 4 cm und 5 cm stoßen. Während seine Fläche in der Mathematik schlicht als F  =  6 angegeben wird, ist die Fläche des "physikalischen" Dreiecks F  =  6 cm2.

Einigt man sich vor einer Rechnung auf die zu verwendenden Einheiten, so läßt sich mit dimensionsbehafteten Größen genauso rechnen wie mit Zahlen.

Beispiel: Ein Rechteck habe die Seitenlängen a = 30 cm und b = 2 m. Berechnen Sie Umfang u und Fläche F !

Bei der Berechnung des Umfangs müssen die Seitenlängen auf eine gemeinsame Einheit gebracht werden. Wählen wir als Einheit Zentimeter, so lautet die Rechnung:

u
=
2 (a + b) = 2 (30 cm + 2 m)
=
2 (30 cm + 200 cm) = 2 × 230 cm = 460 cm.
(2)
Das ist gleichbedeutend mit 4.6 m. Wir hätten auch von Beginn an Meter als gemeinsame Einheit verwenden können. Die Rechnung hätte dann so ausgesehen:
u
=
2 (a + b) = 2 (30 cm + 2 m)
=
2 (0.3 m + 2 m) = 2 × 2.3 m = 4.6 m.
(3)

Die Fläche wird berechnet durch

F = a b = 30 cm × 2 m = 30 cm × 200 cm = 6000 cm2,
(4)
oder
F = a b = 30 cm × 2 m = 0.3 m × 2 m = 0.6 m2.
(5)
Da 1 m2 = 10000 cm2, sind beide Resultate gleich.

Manche Einheiten sind ein bißchen gewöhnungsbedürftig. So ist z.B. die Beschleunigung die Rate der Geschwindigkeitszunahme pro Zeiteinheit. Ihre Einheit ist der Quotient aus Geschwindigkeitseinheit (m/s, ''Meter pro Sekunde'') und Zeiteinheit (s, Sekunde), also m/s2 (''Meter pro Sekundenquadrat''). (Das ergibt sich, wenn die Symbole für die Einheiten wie Variable behandelt werden: (m/s)/s  =  m/s2). Die Beschleunigung fallender Körper auf der Erdoberfläche (die ''Erdbeschleunigung'') hat ungefähr den Wert

g » 9.81 m/s2.
(6)

Eine berühmte Formel aus der Physik ist folgende: Wird ein Körper aus der Ruhelage fallengelassen, so hat er nach der Zeitspanne t die Strecke

h = g
2
  t2
(7)
zurückgelegt. (Dies gilft nur zu Beginn des Falls, solange der Luftwiderstand vernachlässigt werden kann). Frage: Welche Strecke legt ein Körper während 5 Sekunden freien Falls zurück? Antwort:
h » 9.81 m/s2
2
  (5 s)2 = 9.81
2
  × 25 m » 122.6 m.
(8)
Beachten Sie, wie sich die Sekundenquadrate "weggekürzt" haben.