Geometrischer Beweis mit Hilfe des Zeigerdiagramms:
Für zwei verschiedene Winkel zwischen 0° und 180°
(¹ 0°, 90° und 180°) sind die
entsprechenden Abschnitte auf der Tangens-Schiene verschieden.
Daher kann die Periode der Tangensfunktion nicht kleiner als
180° sein. Im Bereich zwischen 180° und 360° wiederholen sich
die Abschnitte auf der Tangens-Schiene, da der Zeiger, der den Winkel
a + 180° repräsentiert,
parallel zu jenem Zeiger ist, der den Winkel a
repräsentiert. Daher ist die Periode des Tangens genau 180°.
Für den Cotangens lässt sich ein ganz ähnlicher
Beweis führen - versuchen Sie ihn selbst!
Rechnerischer Beweis:
Aus Gleichung (11) folgt, dass Sinus und Cosinus beim Übergang von
a zu
a + 180° das Vorzeichen wechseln.
Ihre Quotienten (Tangens und Cotangens) sind daher für beide Winkeln gleich:
tan(a
+ 180°) = tan a
cot(a
+180°) = cot a.
Dies besagt: Wird a stetig vergrößert,
so wiederholen sich die Werte der beiden Funktionen alle 180°.
Deren Perioden sind daher 180° oder Teiler von 180°.
Dass die Periode des Tangensnicht kleiner als 180° sein kann,
ergibt sich etwa, wenn gefragt wird, für welche
Winkel der Tangens den Wert 0 annimmt. Das ist genau dann der Fall, wenn der Sinus
(der Zähler des Tangens) verschwindet, also für 0° und 180°,
aber nicht dazwischen.
Die Werte der Tangensfunktion wiederholen sich daher nicht öfter
als alle 180°: die Periode des Tangens ist genau 180°.
Versuchen Sie selbst, ein ähnliches Argument für den Cotangens
anzubringen!