Bemerkung zur Definition des Absolutbetrags:
Die formale Definition des Absolutbetrags einer reellen Zahl x ist
Daraus folgt, daß immer |x| ³ 0 ist. Weiters ist 0 die einzige Zahl, für die
der Absolutbetrag 0 ist. Das kann kurz und bündig als
formuliert werden.
Der Absolutbetrag erkennt die ''Größe'' einer Zahl, ohne
dabei auf das Vorzeichen zu achten.
Die Tatsache, daß er das Vorzeichen ignoriert,
läßt sich in der mathematischen Symbolsprache
als
schreiben.
Der Absolutbetrag einer Differenz
| x - y | für x, y Î R entspricht gerade dem, was man auch in der
Alltagssprache unter dem ''Abstand'' zweier Punkte x, y (auf der Zahlengeraden) versteht.
Das Bequeme daran ist, daß man dabei auf die Reihenfolge nicht achten muß,
da immer | x - y | = | y - x | gilt (wie aus (3) folgt).
Sind die beiden Punkte x und y voneinander
verschieden und liegen nahe beieinander, so
ist | x - y | klein (und positiv). Sind sie gleich, so ist | x - y | = 0.
Diese Eigenschaft des Absolutbetrags wird im Kapitel
Grenzprozesse verwendet werden, um genau zu definieren,
wann eine "Folge" von Zahlen einem bestimmten Wert immer näher kommt (Konvergenz und Grenzwert einer Folge).