Eine Bakterienkultur besteht zu Anfang aus 1000 Bakterien. Die Anzahl der Bakterien verdoppelt sich jede Stunde.

1. Stelle die Anzahl der Bakterien nach t Stunden als Funktion der Zeit dar.
2. Wieviele Bakterien sind nach 2,5 Stunden vorhanden?
3. Wann wird sich die Anzahl der Bakterien verzehnfacht haben?
4. Das Wachstum der Bakterien lässt sich durch die Formel beschreiben. Berechne den Wachstumsfaktor .

a)

Wir überlegen uns zuerst, welche Elemente gegeben sind, und welche wir noch berechnen müssen. Da wir wissen, dass sich die Anzahl der Bakterien zu jedem Zeitpunkt verdoppelt, können wir eine Aussage über die Wachstumsrate () treffen. Durch Einsetzen ergibt sich folgende Funktion, welche abhängig von der Zeit ist:

b)

Um die Anzahl der Bakterien in Stunden zu berechnen, setzen wir in die obige Formel ein:

c)

Hier müssen wir berechnen, zu welchem Zeitpunkt N_t = 10000 eintritt. Wir setzen wiederum ein:

d)

Da wir bereits den Wachstumsfaktor kennen, brauchen wir nur noch durch Logarithmieren ermitteln:

Gegeben ist ein Startkapital von 1000 €. Dieses Kapital wird mit 8 % Zinsen p.a. angelegt.

1. In welcher Zeit verdoppelt sich das Kapital?
2. Zeige, dass die Verdoppelungszeit nicht davon abhängt, wie groß das Anfangskapital ist.

a)

Zuerst stellen wir die Wachstumsfunktion auf:

Wenn wir nun setzen, was dem doppelten Startkapital entspricht, und dies in die Formel einsetzen, können wir daraus ermitteln:

b)

Setzt man für einen beliebigen Wert ein, so ändert sich nichts am Betrag von . Sei ein beliebiges Startkapital:

Ab diesem Zeitpunkt berechnet sich exakt wie in Beispiel a. Somit haben wir gezeigt, dass die Verdoppelungszeit nicht vom Startkapital abhängt.

Der radioaktive Zerfall eines Elements lässt sich durch die Formel:

beschreiben. Die Zeit, in der von einer vorhandenen Stoffmenge die Hälfte zerfällt, heißt Halbwertszeit. Für Radium beträgt sie beispielsweise 1620 Jahre.

1. Berechne die Zerfallskonstante .
2. Wieviel war von dem ersten Gramm Radium, welches Marie Curie 1898 herstellte, nach 100 Jahren noch übrig?
3. Wann wird nur mehr 0.1 Gramm vorhanden sein?

a)

Zuerst stellen wir wieder eine Wachstumsformel auf, aus der wir uns herleiten können.

b)

Einsetzen in die Formel:

c)

Wiederum einsetzen in die Formel und für auflösen:

Eine Tasse kochendheißer Kaffee (100° C) kühlt bei Zimmertemperatur (20° C) in 10 Minuten auf 30° C ab.

1. Die Temperatur nach Minuten wird durch die Gleichung
   
   
   
   angegeben. Berechne die Konstante .
2. Wie hoch ist die Temperatur des Kaffees nach 3 Minuten, wenn dieser zuerst mit der gleichen Menge an Milch (4° C) gemischt wird?
   Hinweis - die Temperatur der Mischung ist das arithmetische Mittel der einzelnen Temperaturen:
   
   
   
3. Wie hoch ist die Temperatur des Kaffees, wenn die Milch erst nach 3 Minuten dazugegeben wird?

a)

Da wir bis auf den Wachstumsfaktor alle Parameter kennen und diese in die Formel einsetzen, können wir daraus herleiten:

b)

Zuerst berechnen wir uns den Temperaturmittelwert beider Mengen:

Danach können wie wie immer in die Formel einsetzen:

c)

Hierbei berechnen wir zuerst die Abkühlung und danach den Mittelwert:

Jetzt müssen wir nur noch den Mittelwert bilden: