|
1.1 Bereits bekannte Zahlenmengen
|
|
Im laufe deiner Schulkarriere hast du bereits einige wichtige Mengen von Zahlen kennengelernt. Auch historisch galt es zunächst diese Mengen zu entdecken:
Die natürlichen Zahlen ℕ:
Sowie der Mensch nach der Vertreibung aus dem Paradies mit dem Jagen und Sammeln begann, begann er auch zu prahlen.
Es galt möglichst mehr nachhause zu bringen als der Nachbar/die Nachbarin vom Nebenfeuer.
Dazu entdeckten sie relativ bald die natürlichen Zahlen und konnten genau erkennen, dass 7 Äpfel mehr sind als 5 Äpfel, 5 Äpfel jedoch mehr sind als 3 Äpfel.
Man bemerkte auch bald, dass man die Vorräte zusammenlegen könnte und zusammen mehr Äpfel hätte.
Die Addition natürlicher Zahlen war erfunden und sie war wohldefiniert!
Weiters enteckte man die Multiplikation natürlicher Zahlen, indem man täglich die gleiche Anzahl an Äpfeln zur Seite legte und nach x Tagen zählte wie groß der Vorrat bereits war.
Zu dieser Zeit konnte man bereits Gleichungen der Form a + x = b (mit b > a und a,b ∈ ℕ) und der Form a · b = x (mit a,b ∈ ℕ) ohne Probleme lösen.
Die ganzen Zahlen ℤ:
Spätestens als die Menschen hungrig wurden und momentan keine Äpfel zur verfügung standen, erkannten sie, dass man auch keinen Apfel besitzen konnte, was sie zur Einführung der Zahl Null (0) motivierte.
Um ihr Überleben dennoch zu sichern begannen sie sich Nahrungsmittel ihrer Mitmenschen auszuborgen und machten somit Schulden.
Wenn sie nun ihre Äpfel zählten mussten sie bedenken wie viele Äpfel sie noch nicht zurückgegeben hatten. Diese galt es vom aktuellen Bestand abzuziehen.
So geschah es mitunter, dass man nicht nur keinen einzigen Apfel besaß, sonder auch noch Schulden hatten. Diese Schulden wurden mit einem Minus (-) markiert.
Die ganzen Zahlen (ℤ) waren erfunden.
Von nun an konnte man nicht nur uneingeschränkt addieren und multiplizieren, sonder auch noch subtrahieren.
Die rationalen Zahlen ℚ:
In jeder Gesellschaft gibt es wohl die einen, die ihre Überlegenheit nutzen um andere zu hintergehen.
So geschah es, dass einige durch Zufall entdeckten, dass man Äpfel auch zerstückeln kann und somit Bruchteile dieser erhält.
Dieses Wissen wurde schamlos ausgenutzt um andere übers Ohr zu hauen, die die rationalen Zahlen noch nicht fü,r sich entdeckt hatten, indem sie ihnen halbe als ganze Äpfel verkauften.
Zum Glück gibt es auch die Menschen (z.B. Lehrer/innen), die sich zum Wohle aller die Mühe machen alle Menschen auf dem aktuellen Stand zu bewahren, damit diese nicht schamlos ausgebeutet werden können.
So geschah es, dass sich die rationalen Zahlen (ℚ) bald großer Beliebtheit erfreuten, da man durch sie auch durchaus edle Tatan begehen konnte indem man einfach teilte.
Von nun an war auch das uneingeschränkte Dividieren möglich. (Du siehst also, dass es sich auszahlt mathematisch am aktuellen stand zu bleiben ;-).)
Die Reellen Zahlen ℝ:
Besonders schlauen Köpfen war es nie genug nur die nötigsten Dinge zu erkennen.
Der gebildete Mensch interessierte sich schon immer für das Wesen der Dinge und beschäftigte sich mit der Suche nach größeren Zusammenhängen.
So interessierte man sich nicht mehr nur für die Anzahl von Äpfeln und deren Bruchteilen, sondern man beschäftigte sich auch mit deren Größe.
Dazu gehörten natürlich auch Radius und Umfang, sowie Querschnittsfl&aum;che, Oberfläche und Volumen des kugelrunden Obstes.
So fand man bald einen Zusammenhang zwischen den eben genannten Größen.
Die Zahl πwurde entdecktund mit ihr begann der ganze Spaß erst so richtig.
Man fand heraus, dass es keine Möglichkeit gab diese Zahl als Bruch darzustellen und dennoch war sie eine der wichtigsten Zahlen.
Ebenso fand man einige Zahlen, deren Wurzel man unmöglich als rationale Zahl akzeptieren konnte, da man wie lange man auch suchte keine Möglichkeit fand sie durch einen Bruch auszudrücken.
Ganz im Gegenteil! Man fand sogar Beweise dafür, dass es keine zwei ganzen Zahlen gab, deren Quotient diesen Zahlen entsprach.
Nach anfänglicher Ablehnung, war man jedoch bald glücklich über die Entdeckung der reellen Zahlen (ℝ), eröfnete sie doch noch etliche Möglichkeiten mathematisch zu operieren.
Selbst das Wurzelziehen gelang nun wesentlich öfter als zufor und man konnte nun fast alle Gleichungen lösen.
Aber eben nur fast alle...
Kurz und bündig:
Wiederholung
|
|
1.2 Was ist mit x2=-1????
|
|
Wir können nun etliche Gleichungen lösen, jedoch gibt es noch immer eine Kleinigkeit, die uns ärgert.
Bislang gab es noch immer eine Möglichkeit, dass wir bei einer Gleichung w.o. gaben und sie einfach als "unlösbar" deklarierten:
wenn eine Wurzel aus einer nagativen Zahlt auftauchte.
Nun ist es aber so, dass Mathematikern und Mathematikerinnen vor nichts so sehr ekelt wie vor unlösbaren Problemen.
Wenn ein solches auftaucht, würden sie am liebsten schreiend davonlaufen.
Eine angemessene Reaktion auf ein solches Problem wäre wohl:
Und genau so wird die Zahl "i" definiert! i ist also jene Zahl, deren Quadrat -1 ist.
i2=-1.
i nennt man dann "imaginäre Einheit".
Mit Hilfe dieser neu definierten Zahl können wir nun auch alle anderen Wurzeln aus negativen Zahlen ermitteln.
Wir wissen ja, dass wir die Wurzel aus dem Produkt von Zahlen aufteilen können und genau das geschieht beim Wurzelziehen aus negativen Zahlen.
Nehmen wir zum Beispiel die Wurzel aus -4:
√(-4) = √((-1)*4) = √(4)*√(-1) = 2*√(-1) = 2*i.
Löst man nun Gleichungen der Form x2+px+q=0 deren Determinante negativ wird (q > p2/4), so erhält man Lösungen der Form a+bi und nennt dies eine komplexe Zahl.
Wobei a=p/2 ist und b die Wurzel aus dem Betrag der Determinante.
Das klingt vielleicht komplizierter als es tatsächlich ist. Im Prinzip löst man die Gleichung wie gewohnt und sollte eine negative Wurzel auftreten, löst man diese wie wir es gerade gelernt haben.
Eine Komplexe Zahl setzt sich aus mehreren Bestandteilen zusammen:
Ist b=0, so erhalten wir wieder eine reelle Zahl: a.
Ist a=0, so erhalten wir eine Zahl bi und nennen dies eine imaginäre Zahl.
Sind a=0 und b=0, so erhalten wir 0.
Wir sehen also, dass die Einführung der komplexen Zahlen die Menge der reellen Zahlen erweitert und kürzen die Menge der komplexen Zahlen mit ℂ ab.
Kurz und bündig:
Neuer Stoff
|
Lernpfadseite als User öffnen (Login)
Falls Sie noch kein registrierter User sind, können Sie sich einen neuen Zugang anlegen. Als registrierter User können Sie ein persönliches Lerntagebuch zu diesem Lernpfad anlegen.
|
