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2.1 Die konjugiert komplexe Zahl
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Wir haben nun die komplexen Zahlen eingeführt und wollen nun selbstverständlich auch damit rechnen.
Dazu müssen wir noch einige Rechenregeln definieren, die sich nach Möglichkeit mit den Rechenregeln, die wir bereits von den reellen Zahlen kennen "vertragen" (keine Angst, das werden sie!).
Die folgende Definition wir uns zunächst vielleicht etwas unnützlich vorkommen, wir werden jedoch später sehen, dass wir die konjugiert komplexe Zahl sehrwohl brauchen können.
Wir wissen bereits, dass sich jede komplexe Zahl z als a+bi schreiben lässt, wobei a und b reelle Zahlen sind.
Als konjugiert komplexe Zahl z* zu z bezeichnet man jene komplexe Zahl, die den selben Realteil wie z besitzt und deren Imaginärteil den selben Betrag, jedoch das umgekehrte Vorzeichen besitzt.
Also:
z=a+bi
z*=a-bi.
Man sieht hier sofort, dass die konjugiert komplexe Zahl zu z* also (z*)* wiederum z sein muss.
Außerdem erkennen wir, dass es zu jeder komplexen Zahl genau eine konjugiert komplexe Zahl gibt.
Ist die Zahl z "zufällig" eine reelle Zahl a, so ist die dazugehörige konjugiert komplexe Zahl dieselbe Zahl a.
Ist z eine imaginäre Zahl bi, so ist z*=-bi.
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2.2 Addition und Subtraktion von komplexen Zahlen
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Selbstverständlich wollen wir komplexe Zahlen auch addieren und subtrahieren.
Wählen wir dazu zunächst zwei beliebige komplexe Zahlen z1=a+bi und z2=c+di.
De Addition zweier komplexer Zahlen ist folgendermaßen definiert:
z1+z2 = (a+bi)+(c+di) = a+bi+c+di = a+c+bi+di = (a+c)+(b+d)i.
Wir sehen also, dass hier nichts anderes geschieht, als dass wir jeweils die Realteile und die Imaginärteile zusammenzählen und so eine neue komplexe Zahl erhalten.
Die Subtraktion zweier komplexer Zahlen ist folgendermaßen definiert:
z1-z2 = (a+bi)-(c+di) = a+bi-c-di = a-c+bi-di = (a-c)+(b-d)i.
Wir sehen also, dass hier nichts anderes geschieht, als dass wir jeweils die Realteile und die Imaginärteile zusammenzählen und so eine neue komplexe Zahl erhalten.
Um mehr als zwei komplexe Zahlen zu addieren/subtrahieren, führen wir die Addition/Subtraktion einfach so lange aus, bis wir fertig sind.
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2.3 Multiplikation von komplexen Zahlen
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Die Multiplikation zweier komplexer Zahlen ist ähnlich einfach wie die Addition und Subtraktion.
Betrachten wir wieder die beiden komplexen Zahlen z1=a+bi undz2=c+di:
z1*z2 = (a+bi)*(c+di) = ac+bci+adi+bdi2 = ac+(ad+bc)i-bd = (ac-bd)+(ad+bc)i.
Wir erkennen also, dass die komplexen Zahlen ausmultiplizert und zusammengefasst werden wie wir es von Termen mit unbekannten gewohnt sind.
Einzig i2 wird durch -1 ersetzt.
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2.4 Der Betrag der komplexen Zahl
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Bislang konnten wir Zahlen ganz einfach der Größe nach ordnen. Nun stehen wir allerdings vor einem Problem:
Wie kann man komplexe Zahlen ordnen?
In erster Linie gar nicht! (Dies ist jedoch ein Opfer, dass wir für die Lösbarkeit negativer Wurzeln gerne bringen.)
Was wir jedoch ordnen können sind die Beträge komplexer Zahlen.
Wir kennen den Begriff des Betrages bereits von den reellen Zahlen und von Vektoren.
Der Betrag einer komplexen Zahl unterscheidet sich davon (zum Glück) kaum.
Wir definieren den Betrag einer komplexen Zahl folgender Maßen:
|z|=√(a2+b2)
Der Betrag einer komplexen Zahl ist also die Wurzel aus zwei positiven reellen Zahlen und damit wiederrum eine reelle Zahl, die wir ordnen können (die Eindeutigkeit der Ordnung haben wir allerdings verloren, da z.B. z und z* den selben Betrag haben).
Sehen wir uns das Produkt von z und z* an, erkennen wir folgenden Zusammenhang zum Betrag von z bzw. z*:
z*z* = |z|2 = |z*|2.
(Wenn du möchtest kannst du das ganz einfach beweisen, indem du für z a+bi einsetzt und beide Seiten der Gleichung ausrechnest und kürzt.)
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2.5 Division komplexer Zahlen
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Etwas trickreicher und spannender als die bisherigen Rechenregeln ist die Division zweier komplexer Zahlen.
Betrachten wir wieder unsere beiden komplexen Zahlen z1=a+bi und z2=c+di:
z1/z2 = (a+bi)/(c+di) = ((a+bi)/(c+di))*1 = ((a+bi)/(c+di))*((c-di)/(c-di)) = ((a+di)*(c-di))/(c+di)*(c-di)) = ((ac+bd)+(cb-ad)i)/(c2+d2) = (ac+bd)/(c2+d2)+(cb-ad)i/(c2+d2)
Um den Quotienten der beiden Zahlen wieder auf die gewohnte Form zu bringen, haben wir den Bruch mit z2*/z2*, also mit (c-di)/(c-di) erweitert.
Durch diesen Kniff erreichen wir, dass unter dem Bruchstrich eine reelle Zahl steht.
Bei genauerer Betrachtung des Ergebnisses stellen wir fest, dass wir den Brauch auch als (z1*z2*)/|z2|2 schreiben können.
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2.6 Potenzieren komplexer Zahlen
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Auch das Potenzieren komplexer Zahlen wird uns keine größen Schwierigkeiten bereiten, denn wie bereits beim Addieren und Multiplizeren arbeiten wir als wäre i eine Variable und ersetzen i2 mit -1.
Betrachten wir beispielsweise z=a+bi und bilden das Quadrat davon:
z2 = (a+bi)2 = a2+2abi+b2i2 = a2+2abi-b2 = (a-b)+2abi.
Sehen wir uns noch an was geschieht, wenn man i mit beliebigen natürlichen Zahlen potenziert:
i1 = i
i2 = -1
i3 = i*i2 = -i
i4 = i2*i2 = 1
i5 = i*i4 = i
i6 = i5*i = i*i = i2 = -1
i7 = i3*i4 = -i*1 = -i
i8 = i4*i4 = 1
i24 = 1
i37 = i
i42 = -1
i83 = -i
Allgemein betrachten wir beim Potenzieren von i mit einer beliebigen natürlichen Zahl n den Rest den wir bei der Division von n durch 4 erhalten.
in = iRest der Division n/4.
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2.7 Kurz und bündig
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Kurz und bündig
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