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3.1 Extremstellen
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• Hochpunkt (lokales Maximum):
a < b und f(a) < f(b)
a > b und f(a) < f(b)
(alle y-Werte links und rechts vom Hochpunkt sind kleiner als f(b))
• Tiefpunkt (lokales Minimum):
a < b und f(a) > f(b)
a > b und f(a) > f(b)
(alle y- Werte links und rechts vom Tiefpunkt sind größer als f(b))
globales Extremum : Höchster oder tiefster Punkt in der Definitionsmenge Df.
Liegt eine lokale Extremstelle vor, gilt f‘(x)=0.
Da durch die 1.Ableitung die Steigung der Tangente beschrieben werden kann.
Notwendige Bedingung :
Wir wissen:
Wenn an der Stelle x ein Extremwert vorliegt, dann ist f‘(x) = 0.
Wenn f‘(x)=0, dann liegt nicht notwendigerweise ein Extremwert vor. Es könnte sich auch um einen Sattelpunkt handeln.
Hinreichende Bedingung für Extremstellen :
x ist Hochpunkt: f‘(x)= 0 und f‘‘(x)< 0
x ist Tiefpunkt: f‘(x)= 0 und f‘‘(x)> 0
Die Tangente ist bei einer Extremstelle immer waagrecht.
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3.3 Aufgaben
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| 1)
2) Berechne die lokalen Extrema der Funktion f(x)=x3-3x2+4 und untersuche das Monotonieverhalten!
3)
Hier sind die Lösungen!
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