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3.1 Teiler einer Zahl
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Wir betrachten folgende Definition:
Anhand eines Beispiels bedeutet das also:
Es gilt 5 · 3 = 15, also nennt man 3 und 5 "Teiler von 15".
In manchen Schul- oder Mathematikbüchern wird Teilbarkeit auch auf folgende Art definiert:
In unserem Beispiel gilt also:
15 ÷ 3 = 5 und 0 Rest. Daraus folgt dann wieder: 3|15 ("3 teilt 15" oder "3 ist ein Teiler von 15").
Zu diesen Definitionen können wir nun für alle a,b,k ∈ ℕ folgende wichtige Beobachtungen und Bemerkungen hinzufügen:
- Wenn a · k = b gilt, folgert man daraus a|b (siehe Definition). Es gilt dann natürlich auch k|b,
das heißt, auch k ist ein Teiler von b und man nennt k den Komplementärteiler zu a.
- Die Zahl 1 teilt jede Zahl, also 1|a (oder auch: "1 ist ein Teiler von jeder Zahl").
- Jede Zahl ist ein Teiler von sich selbst, also a|a.
Wenn wir uns noch einmal die Zahlen 3, 5 und 15 anschauen, so wissen wir nun:
5 ist der Komplementärteiler zu 3 (von 15) und es gilt sowohl 1|15, als auch 15|15.
Aufgabenstellung
Überprüfe anschließend dein Verständnis über Teiler in dieser
Übung.
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Lernstoff, Vorgriff
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3.2 Teilermengen
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Aufgabenstellung
Informiere dich auf dieser Website, oder sieh in einem Mathematikbuch nach, was man als Teilermenge einer Zahl bezeichnet.
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Vertiefung, Übungsaufgabe
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3.3 Teilbarkeitsregeln
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Eine ganze Zahl ist durch 2 teilbar, wenn sie gerade ist, das heißt, wenn ihre letzte Zahl eine 0, 2, 4, 6 oder 8 ist.
Einige Teilbarkeitsregeln zu kennen, kann dir in vielerlei Hinsicht nützlich sein.
Überlege und/oder recherchiere: Wann ist eine Zahl durch 2, 4, 5, 8, 10 oder 100 teilbar?
Aufgabenstellung
Fasse deine Ergebnisse übersichtlich zusammen und nutze dazu das folgende
Arbeitsblatt 3, auf dem du die Regeln auch gleich anwenden und üben kannst.
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Vertiefung, Vorgriff
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3.4 Übungen zu den Teilbarkeitsregeln
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Für die Teilbarkeitsregeln zu 3, 6 und 9 brauchen wir folgende Definition der Ziffernsumme:
Na, alles klar? Berechne in dieser
Übung die Ziffernsummen der Zahlen.
Nun ist eine Zahl durch 3 oder 9 teilbar, wenn ihre Ziffernsumme durch 3 bzw. 9 teilbar ist.
Zum Beispiel 52 938: z(52 938) = 5 + 2 + 9 + 3 + 8 = 27.
27 ist sowohl durch 3 als auch durch 9 teilbar, also ist auch 52 938 durch 3 bzw. 9 teilbar!
(Du kannst natürlich die Ziffernsumme so lange bilden, bist du dir sicher bist. Die Ziffernsumme von 27 ist 9,
daraus ist die Teilbarkeit durch 3 und 9 noch ersichtlicher.)
Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist (d.h. wenn sie gerade ist und
ihre Ziffernsumme durch 3 teilbar).
Übungsaufgabe, Wiederholung
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3.5 Noch einmal Teilbarkeit
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Für die Teilbarkeit durch 7 gibt es leider keine unkomplizierte Regel. Hier lohnt es sich meistens, einfach nachzurechnen.
Aufgabenstellung
Ein paar der anderen wichtigen Teilbarkeitsregeln findest du in dieser
Lückentextübung noch einmal zusammengefasst.
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Wiederholung, Übungsaufgabe
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3.6 Allgemeine Teilbarkeitsregeln
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Neben den speziellen Teilbarkeitsregeln für einzelne Zahlen, gibt es auch allgemeine Teilbarkeitsregeln,
die auf alle natürlichen Zahlen zutreffen:
Suche dir zu jeder allgemeinen Teilbarkeitsregel drei passende Zahlen und überprüfe, ob die Regeln tatsächlich zutreffen.
Aufgabenstellung
Hier findest du die Beweise zu den Teilbarkeitsregeln 1 und 3. Sieh sie dir gut an und überlege, wie die Beweise für die Regeln 2 und 4 aussehen könnten.
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Lernstoff, Vertiefung
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3.7 Vollkommene Zahlen
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Zählt man alle Teiler einer Zahl zusammen (ohne die Zahl selbst dazu zu rechnen) und ergibt die Summe die Zahl selbst, so sprach man schon
im antiken Griechenland von einer vollkommenen Zahl.
Aufgabenstellung
Probiere selbst aus: Findest du eine vollkommene Zahl zwischen 1 und 10?
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Vertiefung
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