Reelle Funktionen in der 10.Schulstufe

Übersicht:

Hilfe

1. Organisatorisches
2. Wiederholung und Einführung
3. Extremstellen
4. Monotonie und Beschränktheit
5. Nullstellen und Fixpunkte
6. Symmetrie und Periodizität
7. Arbeiten mit reellen Funktionen
8. Umkehrfunktion
9. Quellen

Monotonie und Beschränktheit

4.1 Definition: Monotonierverhalten

Eine Funktion f heißt monoton steigend (oder wachsend) im Intervall I, wenn für alle x₁, x₂ є I gilt: x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) ≤ f(x₂). Der Funktionswert f(x) bleibt mit größer werdendem x gleich oder wird größer.

Eine Funktion f heißt streng monoton steigend im Intervall I, wenn für alle x₁, x₂ є I gilt: x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂). Der Funktionswert f(x) wird mit größer werdendem x größer.

Eine Funktion f heißt monoton fallend im Intervall I, wenn für alle x₁, x₂ є I gilt: x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) ≥ f(x₂). Der Funktionswert f(x) wird mit größer werdendem x nicht größer.

Eine Funktion f heißt streng monoton fallend im Intervall I, wenn für alle x₁, x2 є I gilt: x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂). Der Funktionswert f(x) wird mit größer werdendem x kleiner.

Lernstoff

4.2 Begründe!

Was kann über das Monotonieverhalten einer Funktion f im Intervall [-4 ; 5] ausgesagt werden, wenn folgende Punkte bekannt sind?

* f(-3) = -7
* f( 0) = -2 
* f( 3) = -5

Begründe deine Antwort.

Eintrag in das Lerntagebuch, Übungsaufgabe

4.3 Definition: Beschränktheit


Eine Funktion f heißt beschränkt, wenn es zwei reelle Zahlen s und S gibt, so dass alle Funktionswerte y = f(x) zwischen beiden begrenzenden Zahlen liegen. Wenn also gilt:

s ≤ f(x) ≤ S für alle x ∈ D

Hierbei wird s als untere Schranke und S als obere Schranke der Funktion bezeichnet.

Eine Funktion kann in einem bestimmten Bereich auch nur entweder von oben oder von unten beschränkt sein, in diesem Fall heißt die Funktion einseitig beschränkt Hierbei wird s als untere Schranke und S als obere Schranke der Funktion bezeichnet.


Beispielsweise gilt für alle Werte der Funktion f(x) = x⁴ - 2x³ - x² + x - 0.3 die Ungleichung f(x) > - 3, so dass jede Zahl <  - 3 eine untere Schranke der Funktion darstellt. Es lässt sich jedoch keine obere Schranke für die gleiche Funktion definieren, da sie im positiven Bereich unendlich große Werte annimmt.

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