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3.1 Was ist eine Differentialgleichung?
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Eine Differentialgleichung (DGL) ist eine Gleichung, die eine Funktion mit ihren Ableitungen in Beziehung setzt. Einfach gesprochen: In einer DGL findest du nicht nur f(x), sondern auch f'(x) oder f''(x).
Schauen wir uns ein Beispiel dazu an:
f'(x)=f(x)+c
Das ist eine Gleichung, die sowohl die Funktion f(x) als auch ihre Ableitung f'(x) enthält. Die Gleichung besagt: Die Ableitung der Funktion ist gleich der Funktion selbst plus einer Konstanten c.
Es können durchaus auch höhere Ableitungen vorkommen:
f''(x)=-f(x)
In diesem Fall werden die zweite Ableitung und die Funktion in Beziehung zueinander gesetzt.
Wie löst man eine DGL?
Eine DGL lösen bedeutet, diejenige Funktion f(x) zu finden, für die die Gleichung erfüllt ist. Fallen dir Funktionen ein, die die obigen beiden DGLn lösen?
Das Lösen von DGLn kann sehr aufwendig und schwierig sein, sodass es oft gar nicht ohne Computer möglich ist. In diesem Kapitel werden wir uns darauf beschränken DGLn aus gegebenen Funktionen aufzustellen. Wir gehen also den umgekehrten Weg: Wir haben die Lösung und suchen die Gleichung :-)
In den Naturwissenschaften spielen DGLn eine seeeeeehr wichtige Rolle. Oft kennt man nämlich den Zusammenhang zwischen Modell (also der Funktion) und ihren Änderungen (also Ableitungen), aber die Funktion selbst kennt man nicht. Also hat man eine Differentialgleichung, die man lösen muss, um das Modell aufstellen zu können.
Lernstoff
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3.2 Konstante Geschwindigkeit - Lineare Gleichungen
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Wenn sich ein Körper (du kannst dir ein Auto oder ein Fahrrad vorstellen) mit konstanter Geschwindigkeit bewegt, dann nimmt der Weg linear mit der Zeit zu. D.h. in gleichen Zeiten werden gleiche Wege zurückgelegt. Die Zeit-Weg-Funktion s(t) ist eine Gerade. Ihre allgemeine Form sieht so aus:
s(t)=v·t+s0
Erkennst du die Ähnlichkeit zu f(x)=k·x+d ?
k ist die Steigung der Geraden und nachdem die Steigung immer gleich der Geschwindigkeit ist (die in unserem Fall konstant ist), nennen wir sie hier v. Statt d verwenden wir s0, da in einer Zeit-Weg-Funktion d für den Anfangsweg steht, also den Weg, der zum Zeitpunkt t=0 bereits zurückgelegt wurde.
Beispiel eines Zeit-Weg-Diagramms mit konstanter Geschwindigkeit
Differentialgleichung aufstellen:
Wir wollen nun die zugehörige Differentialgleichung für die Funktion s(t) aufstellen.
1. Bilden der 1. Ableitung: s'(t)=v
2. Vergleichen von s(t) und s'(t): s(t)=s'(t)·t+s_0
Fertig ist unsere Differentialgleichung. Sie lautet als:
s(t)=s'(t)·t+s0
Lernstoff
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3.3 Übungsbeispiele zu konstanten Geschwindigkeiten
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AUFGABEN
Stelle die Differentialgleichung zu den Sachverhalten auf. Notiere die Ergebnisse in deinem Heft.
1. Eine Läuferin läuft einen Marathon (42 km) mit konstanter Geschwindigkeit in 3:45 Stunden. Die Zeitmessung beginnt bei der Startlinie.
a) Bestimme v und s0 und ermittle die Funktion s(t). Hinweis: s0 ist die Strecke, die die Läuferin vor Beginn der Zeitmessung schon zurückgelegt hat.
b) Stelle die DGL auf.
2. Wenn ein Flugzeug seine Reisflughöhe erreicht hat, fliegt es mit konstanter Geschwindigkeit. Diese beträgt 828 km/h. Der Weg, den das Flugzeug vor erreichen dieser Reiseflughöhe zurücklegt, beträgt 50 km.
a) Ermittle die Funktion s(t).
b) Stelle die DGL auf.
3. Überlege dir zu folgender Funktion einen Sachverhalt und stelle die zugehörige DGL auf: h(t)=10+30t
Übungsaufgaben
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3.4 Konstante Beschleunigung - Quadratische Gleichungen
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Wenn sich ein Körper mit konstanter Beschelunigung bewegt, dann nimmt seine Geschwindigkeit linear zu. Das kannst du dir so vorstellen: Wenn du mit deinem Moped konstant beschleunigst, drehst du den Gashebel gleichmäßig nach vorne, d.h. deine Geschwindigkeit wird jede Sekunde um den gleichen Wert größer. Zum Beispiel: nach 1s hast du 3 m/s, nach 2s hast du 6 m/s, nach 3s hast du 9 m/s usw. Jede Sekunde kommen 3 m/s dazu, also beschleunigst du mit 3 m/s². Man nennt das in der Physik eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung. Die Zeit-Weg-Funktion ist hierbei eine quadratische Funktion, da ja die Geschwindigkeit jetzt nicht mehr konstant ist, sondern pro Sekunde größer wird.
s(t) = a/2·t² + v0·t + s0
v(t) = s'(t) = a·t + v0
a(t) = v'(t) = s''(t) = a
Zusammenhang von s,v,a bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung
Differentialgleichung aufstellen:
Wir wollen nun die zugehörige Differentialgleichung für die Funktion s(t) aufstellen.
1. Bilden der 1. Ableitung: s'(t) = v(t) = a·t + v0 ⇔ v0 = s'(t) - a·t
2. Bilden der 2. Ableitung: s''(t) = a(t) = a ⇔ v0 = s'(t) - s''(t)·t
2. Vergleichen von s(t), s'(t) und s''(t): s(t) = s''(t)/2·t² + (s'(t) - s''(t)·t)·t + s0
Fertig ist unsere Differentialgleichung. Sie lautet also:
s(t) = a(t)/2·t² + v(t)·t - a(t)·t² + s0 = -a(t)/2·t² + v(t)·t + s0
Lernstoff
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3.5 Übungsbeispiele zu konstanten Beschleunigungen
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AUFGABEN
Ermittle für die folgenden Sachverhalte s(t), v(t) und a. Verwende dazu die Formel in Abschnitt 3.4.
1. Die Ampel springt auf "grün". Während ihr Freund die Stoppuhr startet, beschleunigt Sandra mit ihrem neuen Sportwagen konstant mit 4 m/s². Anfangsgeschwindigkeit und Anfangsweg sind 0, da ja an der Ampel gestartet wird.
a) Ermittle s(t), v(t), a(t).
b) Stelle eine mögliche Differentialgleichung auf.
2. Ein Airbus beschleunigt konstant mit 1.6 m/s² bevor er abhebt. Der Weg bis zum Start des Rollfeldes beträgt 400 m. Das Flugzeug startet seinen Beschleunigungsvorgang aus einer zunächst konstanten Geschwindigkeit von 5 m/s.
a) Ermittle s(t), v(t), a(t).
b) Stelle eine mögliche Differentialgleichung auf.
Übungsaufgaben
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