Der Satz des Pythagoras

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Isabella Mathwieser

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1. Einleitung
2. Was brauche ich dafür?
3. Herleitung des pythagoräischen Lehrsatzes
4. Pythagoräische Tripel
5. Übungen
6. Quellenangaben

Herleitung des pythagoräischen Lehrsatzes
 
3.1 Idee
Pythagoras von Samos

Idee

In der linken Skizze ergeben sich vier graue Dreiecke mit den Seitenlängen a, b, c. Als weiße Fläche bleibt damit ein Quadrat mit der Fläche c2 übrig. Die vier grauen Dreiecke kann man aber auch so wie in der rechten Skizze anordnen. Damit bleiben zwei weiße Quadrate übrig, die die Flächen b2 und a2 haben. An der Gesamtfläche des großen Quadrats hat sich aber nichts geändert. Also müssen die Flächen a2 + b2 gleich groß sein wie die Fläche c2.


 
3.2 Herleitung
Pythagoras von Samos

Beweis

Anhand der ersten Skizze sieht man, dass die Flächen der grauen Dreiecke mit (a·b)/2 berechnet werden. Von diesen grauen Dreiecken sind vier Stück vorhanden, das heißt ihre Gesamtfläche beträgt 4·(a·b)/2, also 2ab. Die Gesamtfläche des Quadrats beträgt also c2 + 2ab. Nun kann man aber die Fläche eines Quadrats auch über seine Seitenlänge berechnen, in unserem Fall (a+b)·(a+b). Das wiederum ist nichts anderes als (a+b)2, und diesen Ausdruck können wir mit der ersten Binomischen Formel aus dem vorigen Kapitel berechnen, er ergibt a2+2ab+b2. Jetzt haben wir also zwei Ausdrücke für die Fläche unseres Quadrats. Beide Formeln ergeben das Gleiche, also dürfen wir sie gleichsetzen. Das heißt: c2 + 2ab = a2+2ab+b2 Du hast sicher schon bemerkt, dass wir dabei auf beiden Seiten das Gleiche dazuzählen. Ziehen wir also auf beiden Seiten 2ab ab, ensteht der Satz des Pythagoras:

c2 = a2+ b2


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