2.4 Die Ungleichung | x - a | < e als System von Ungleichungen
Auch die bekannte Betragsfunktion kann man im Zusammenhang mit Ungleichungen betrachten. Der in der Überschrift angeführte Term kommt oft in der Analysis vor. Geometrisch gesehen versteht man unter dem absoluten Betrag zweier Zahlen ihren Abstand auf der Zahlengeraden. | x - a | ist der Abstand einer beliebigen Zahl x von einer festen Zahl a. Die Ungleichung | x - a | < e besagt dann, dass der Abstand einer beliebigen Zahl x von a kleiner als e sein soll . x muss also im Inneren des Intervalls (a - e, a + e ) liegen.
Symbolisch kann man die Ungleichung in ein Sytem von zwei linearen Ungleichungen auflösen.
Per definitionem gilt :
|
| x - a| |
= |
{ | x - a |
, wenn a < x |
| -x + a |
, wenn x £ a |
Für x £ a gilt dann -x + a < e oder umgeformt a - e < x und für x > a gilt x - a < e oder umgeformt x < a + e . Daraus kann man schliessen, dass alle x, für die (a - e < x ) Ù ( x < a + e ) wahr ist, die Ungleichung | x - a | < e . erfüllen.
Beispiel:
| x - 3 | < 0.1
2.99 < x < 3.01
x liegt also im offenen Interval (2.99, 3.01).
Man löste also -e < x - a < e auf und kommt durch eine einfache Addition zum gewünschten Ergebnis. Das gilt für alle positiven e .