2.3 Ein System von mehreren Ungleichungen mit einer Variablen
Wir haben gesehen, dass bei der Lösung einer quadratischen Ungleichung ein System von zwei linearen Ungleichungen zu lösen war. Die Lösung ist genau die Menge der reellen Zahlen x, die ein widerspruchsfreies System von Aussagen erfüllen. Zusätzlich können noch Nebenbedingungen auftreten, die erfüllt sein müssen, damit die ursprüngliche Ungleichung eine nichtleere Lösungsmenge hat.
Beispiel:
x - 1 < (2x - 4)/(x - 2)
Als erstes muss man fordern x ¹ 2 , da ansonsten die Ungleichung unlösbar ist.
Danach kann man mit (x - 2) multiplizieren und die Ungleeichung bruchfrei machen. Vom Vorzeich von (x - 2) hängt ab, ob sich bei diesem Schritt der Sinn der Ungleichung ändert oder nicht.
1. Fall: Annahme x > 2
(x - 2)(x - 1) < (2x - 4). Man bringt alle Terme auf eine Seite der Ungleichung und vereinfacht.
(x - 2)(x - 1) - 2x + 4 < 0
x2 - 5x + 6 < 0. Wir haben wieder eine quadratische Ungleichung und suchen die Faktorisierung des Polynoms p(x) = x2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3). Man kann die Ungleichung umformen in die Ungleichung
(x - 2)(x - 3) < 0
da x - 2 >0 schon vorausgesetzt ist, kann nur noch gelten x - 3 < 0 oder x < 3. Man bekommt also ein System von zwei linearen Ungleichungen, die beide gleichzeitig erfüllt sein müssen: 2 < x Ù x < 3. Beide Ausssagen sind wahr, wenn x Î (2 , 3). Die Lösungsmenge für den ersten Fall ist X1 = {x | 2 < x Ù x < 3}.
2. Fall x < 2
(x - 2)(x - 1) > (2x - 4) Þ (x - 2)(x - 3) > 0. Wie man leicht nachprüfen kann, wird dieses Produkt nur positiv, wenn x - 3 < 0 ist, da laut Annahme x - 2 < 0 gilt. Die beiden Aussagen x < 2 und x < 3 sind nur dann beide wahr, wenn x < 2 ist. Also lautet die Lösungsmenge für diesen Fall X2 = {x | x < 2}.
Damit lautet die Lösungsmenge X für die Ungleichung insgesamt X1 È X2 = { x | x Î (- ¥, 3) Ù x ¹ 2}.
Analog werden auch andere Systeme von Ungleichungen gelöst. Bei der Fallunterscheidung sind immer alle einschränkenden Nebenbedingungen zu beachten und die Aussagen, die die Bedingungen für die Erfüllung des systems von Ungleichungen zum Ausdruck bringen, müssen immer ein widerspruchsfreies System von Aussagen bilden.