2.1 Lineare Ungleichungen mit einer Variablen

Ungleichungen können eine oder mehrere Variable enthalten. Die praktisch am häufigsten auftretenden Fälle sind allerdings Ungleichungen mit einer, zwei bzw. höchstens drei Variablen. Geometrisch entspricht das der Angabe von Intervallen bzw. Gebieten auf der Geraden, der Ebene bzw. im Raum. Ausserdem kann die Variable bzw. die Variablen in der ersten bzw. höheren Potenzen in der Ungleichung auftreten. Die höchsten Potenz bestimmt den Charakter der Ungleichung (linear, quadratisch, kubisch usw.).

Lineare Ungleichungen sind der Art a·x+b £ c bzw. a·x + b < c  oder Ungleichungen, derselben Art, bei denen der Sinn der Ungleichung umgekehrt ist. Die Lösung erfolgt in dadurch, dass man:

1. alle Terme mit der Unbekannten x auf die eine Seite, alle freien Terme auf die andere Seite der Ungleichung bringt

a·x £ c - b  und

2. durch a teilt, sofern a ¹ 0 . Falls a = 0, so ist die Ungleichung trivial.

Beim ersten Schritt braucht man den Sinn der Ungleichung nicht beachten, da Addition und Subtraktion den Sinn der Ungleichung nicht verändern.

Beim zweiten Schritt spielt das Vorzeichen von a die entscheidende Rolle. Ist a > 0, so ändert sich der Sinn der Ungleichung nicht, ist a < 0, so ändert er sich in das Gegenteil.

Beispiel:

2·x - 3 £ 5

Wir isolieren zuerst den Term mit x auf einer Seite der Ungleichung, indem zu beiden Seiten der Ungleichung 3 hinzu addiert wird.

Man erhält 2·x £ 5 + 3 und dividiert danach durch 2. Da 2 > 0 ist, ändert sich der Sinn der Ungleichung nicht und man erhält als Lösung  : x £  4. Alle reellen Zahlen kleiner gleich 4 erfüllen die Ungleichung oder man kann auch als Antwort symbolisch schreiben X = {x | x £  4 }. Die Menge aller reellen Zahlen kleiner gleich 4 ist Lösungsmenge der Ungleichung.

Betrachten wir die Ungleichung -2·x - 3 £ 5. Man führt wieder den ersten Schritt aus und erhält -2·x  £  8. Danach wird durch -2 geteilt und (wichtig!) der Sinn der Ungleichung ändert isch. Die Lösung lautet x ³ -4 oder X = {x | x ³ -4 }. Die geometrische Interpretation der Ungleichungen sieht so aus:

Wir sehen die Zahlengerade und auf ihr zwei Bereiche, jeweils einen gelben und einen roten. Der gelbe symbolisiert das Intervall, wo die Ungleichung nicht gilt, der rote, das Intervall, wo die Ungleichung gilt. Der grüne Punkt gibt, an das die Intervallgrenze zum Geltungsbereich der Ungleichung gehört.

Eine lineare Ungleichung muss aber nicht so einfach aussehen, wie im oben angeführten idealtypischen Fall. Hier ein komplizierteres Beispiel:

unter der Voraussetzung , dass die Konstanten a ¹ 0 , b ¹ 0, c ¹ 0 .

Um die Ungleichung zu lösen, bilden wir den gemeinsamen Nenner 6abc und multiplizieren damit beide Teile der Ungleichung. Da über die Vorzeichen von a,b und c nichts bekannt ist, muss man eine Fallunterscheidung durchführen.

1. Fall : abc > 0

Man erhält die Ungleichung 

6bc·x - 3a·(a - x) + 2ab·(a-x)  < 6abc , fasst gleiche Terme zusammen und ordnet

x·(6bc + 3a -2ab) < a·(6bc + 3a - 2ab)

2. Fall :  abc < 0

Man erhält, wie man leicht sieht x·(6bc + 3a -2ab) > a·(6bc + 3a - 2ab)

Die Lösung ist abhängig von einem Fallkriterium, dem Vorzeichen des Produktes a*b*c und davon, dass 

6bc + 3a - 2ab ¹ 0 ist. Wenn 6bc + 3a - 2ab = 0 ist, ist die Lösungsmenge X der Ungleichung die leere Menge Ø.

1. Fall: x < a im Fall 0 < abc oder X = {x | x < a}

2. Fall: x > a im Fall 0 > abc oder X = {x | x > a }

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