2.2 Quadratische Ungleichungen mit einer Variablen

Die Ungleichung kann aber auch nichtlinear sein. Wir betrachten nur den quadratischen Fall: quadratische Ungleichung sind  z.B. Ungleichungen der Art a·x² + b·x + c > 0 oder a·x² + b·x + c < 0. Die Ungleichung kann auch unscharf sein. Die Lösungsmenge X dieser Ungleichung sind wiederum alle reellen Zahlen x, die die Ungleichung erfüllen X = {x | a·x² + b·x + c > 0} bzw. X = {x | a·x² + b·x + c < 0}.

Um eine derartige Ungleichung zu lösen, löst man zuerst die quadratische Gleichung p(x) = a·x² + b·x + c = 0 und faktorisiert das Polynom p(x) = a·x² + b·x + c in p(x) = (x - x₁)(x - x₂), wobei x₁ und x₂ die Wurzeln der quadratischen Gleichung p(x) = 0 sind. Man kann die Ungleichungen p(x) < 0 oder p(x) > 0 nur dann lösen, wenn wir zwei reelle oder eine reelle Doppellösung für die quadratische Gleichung p(x) = 0 haben, denn nur reelle Zahlen können nach einer Ordnungsrelation verglichen werden (siehe Abschnitt 1.3). Im Falle von komplexen Lösungen gilt die Ungleichung a priori entweder für alle reellen x oder für keine reelle Zahl.

Angenommen, p(x) < 0 ist die Ungleichung, d.h. (x - x₁)(x - x₂) < 0 .

Zwei Faktoren ergeben genau dann ein negatives Ergebnis, wenn sie unterschiedliche Vorzeichen haben. Es gibt genau zwei Kombinationen

bei denen das der Fall ist. Entweder gilt x - x₁ < 0 Ù x - x₂ > 0 oder umgekehrt  x - x₁ > 0 Ù x - x₂ < 0 . Die Aussagen in den beiden Konjunktionen müssen gleichzeitig wahr sein. Daraus kann man schliessen, welche der Varianten die Lösung ist.

Beispiel:

x² + x - 6 < 0

Als erstes löst man die Gleichung p(x) = x² + x - 6 = 0 und erhält als Wurzeln der quadratischen Gleichung x₁ = - 3 und x₂  = 2. Ergo: p(x) = (x +3)(x-2). Wir bilden (x +3)(x-2) < 0

1. Fall:

x + 3 < 0 Ù x - 2 > 0 Þ x < -3 Ù x > 2. Diese Aussagen können nicht gleichzeitig wahr sein, sie widersprechen sich. Dieser Fall ist also ausgeschlossen.

2. Fall:

x + 3 > 0 Ù x - 2 < 0 Þ x > -3 Ù x < 2 oder anders geschrieben -3 < x < 2.

Wir sehen, in diesem Fall ist die Ungleichung erfüllt und ihre Lösungsmenge ist X = {x | 3 < x < 2 }. Man kann die Lösung auch  als offenes Intervall I = (-3, 2) darstellen.

Graphisch lässt sich die Lösungsmenge derart visualisieren.

Für den Fall, dass p(x) > 0 ist, zerlegt man wieder in Faktoren und untersucht die Vorzeichen der Faktoren. Diesmal müssen beide Faktoren gleichzeitig dasselbe Vorzeichen haben,

Beispiel:

-6·x² + 13·x < 6. Wir formen zuerst in die Ausgangsform p(x) > 0 um, d.h.   6·x² - 13·x + 6 > 0 und finden die Wurzeln der Gleichung p(x) = 0. x₁ = 2/3 und x₂ = 3/2. Daraus erhält man die umgeformte Ungleichung 

(3x - 2)(2x - 3) > 0. Man muss wieder eine Fallunterscheidung vornehmen:

1.Fall:

3x - 2 > 0  Ù 2x - 3 > 0 Þ x > 2/3 Ù x > 3/2. Beide Bedingungen können nur dann gleichzeitig wahr sein, wenn x > 3/2 gilt. Die Lösungsmenge ist X₁ = { x | 3/2 < x <¥ }.

2. Fall:

3x - 2 < 0  Ù 2x - 3 < 0 Þ x < 2/3 Ù x < 3/2. Diese beiden Bedingungen sind nur dann gleichzeitig wahr, wenn die schärfere der beiden Bedingungen x < 2/3 erfüllt ist. Die Lösungsmenge ist X₂ = { x | -¥ < x < 2/3}.

Wir haben also das Intervall (  -¥, 2/3 ) und ( 3/2 ,  ¥ ) als Lösung.

Wenn die für p(x) aus der Ungleichung p(x) > 0 oder p(x) < 0 gilt, dass p(x) = 0 eine Doppelwurzel hat, so geht man vor wie im Fall für zwei unterschiedliche reelle Wurzeln . Angenommen die Wurzel sei x = a. Dann kann man p(x) darstellen als p(x) = (x - a)² oder als p(x) = -(x - a)² . Das hängt davon ab, ob der Term x² ein positives oder negatives Vorzeichen hat. Dann gilt für die Ungleichungen (x - a)²  < 0, dass sie für keine reelle Zahl erfüllt sind, da ein Quadrat einer Zahl nie negativ sein kann (X= Ø), aber (x - a)²  > 0 ist für alle reellen Zahl ausser für x = a erfüllt, denn nur für x = a wird (x-a) = 0. Ansonsten ist das Quadrat (x - a)² immer positiv (X = Â \ {a}). Graphisch entspricht diesem Fall eine nach oben offene Parabel, der Scheitelpunkt die x-Achse in x = a berührt. Die Fälle für p(x) = -(x - a)²  sind dann analog.

Kommen wir noch kurz zum Fall von komplexen Wurzeln:

x²  - 2x + 2 < 0. p(x) = x²  - 2x + 2. Man sieht leicht, dass die Gleichung p(x) = 0 nur komplexe Wurzeln hat:

 x₁ = 1 - i und x₂ = 1 + i.

Die  Funktion p(x) = x²  - 2x + 2 ist eine Parabel, deren Scheitelpunkt über der x-Achse liegt.

Also gibt  es keinen Wert x , für den die Ungleichung x²  - 2x + 2 < 0 erfüllt wäre. X = Ø. Aber die Ungleichung x²  - 2x + 2 > 0 hat eine Lösung, genauer gesagt unendlich viele Lösungen: X = Â, da alle reellen Zahlen diese Ungleichung erfüllen (s. Graphik)

Für unscharfe Ungleichungen führe die Überlegungen selbst durch.

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