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Beispiele: injektiv, surjektiv, bijektiv:



Die Funktion
R ® R
  		Die Funktion
R ® R
  		Die Funktion
R ® R
 

  ist injektiv, aber nicht surjektiv.
Ihr Wertebereich ist das (offene)
Intervall (-3, 3).
  ist surjektiv, aber nicht injektiv.
So gibt es drei x-Werte (sie sind
eingezeichnet), deren
Funktionswert 1 ist.
  ist bijektiv,
d.h. injektiv und surjektiv.


Nachbemerkungen:
  • Wird die Zuordnungsvorschrift des ersten Beispiels beibehalten, aber nicht als Funktion
     
    R ® R

    sondern als Funktion
     
    R ® (-3, 3)

    aufgefaßt, so entsteht eine bijektive Abbildung.
     
  • Dieses Beispiel zeigt, daß die Menge R der reellen Zahlen und ein offenes Intervall im Sinne der Mengenlehre "gleich groß" (genauer: gleichmächtig) sind, denn eine Funktion dieses Verhaltens (ihr Graph soll sich "weit draußen" den beiden "horizontalen" Geraden nähern, ohne sie je zu erreichen) definiert eine Eins-zu-eins-Zuordnung zwischen den Elementen dieser beiden Mengen.
    Im Kapitel Mengen haben wir über den Begriff der Mächtigkeit und seine erstaunlichen Konsequenzen für unendliche Mengen gesprochen. Hier stehen wir vor einer weiteren solchen Konsequenz.