Analytische Geometrie 2 - Mathematische Hintergründe

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Analytische Geometrie 2

Zusammenfassung:

Thema dieses Kapitels ist die rechnerische Beschreibung von Geraden und Ebenen im (dreidimensionalen) Raum und deren Lagebeziehungen unter Zuhilfenahme der Vektorrechnung.

Stichworte:

Die Rolle der Vektorrechnung in der Geometrie

Im Kapitel "Analytische Geometrie 1" wurde - nach einer Beschreibung der Grundideen der analytischen Geometrie - besprochen, wie Geraden in der Zeichenebene als Lösungsmengen linearer Gleichungen in zwei Variablen beschrieben werden können, und es wurde die Parameterdarstellung von Geraden in der Zeichenebene und im (dreidemensionalen) Raum vorgestellt. Dabei wurde von der Vektorrechnung nur sparsamer Gebrauch gemacht, und alle wichtigen Tatsachen wurden auch ohne Zuhilfenahme des Vektorbegriffs formuliert.

Analytische Geometrie 1

Nun ist es an der Zeit, die Möglichkeiten, die der Vektorformalismus bietet, voll auszunutzen. In diesem zweiten Geometrie-Kapitel wird es um verwandte Themen gehen: die formale Beschreibung von Geraden und Ebenen und deren Lagebeziehungen. Geraden und Ebenen sind "lineare" Gebilde, und dementsprechend können Vektoren, die geometrisch als Pfeile gedeutet werden können, hervorragend zu ihrer Beschreibung eingesetzt werden. Es wird in diesem Kapitel vorausgesetzt, dass Sie mit Vektoren vertraut sind. Das Kapitel "Vektoren 1" handelt von den grundlegenden Eigenschaften und Rechenoperationen dieser Objekte. Im Kapitel "Vektoren 2" kommt als wichtige Struktur das Skalarprodukt dazu, von dem wir hier ausgiebig Gebrauch machen werden. Eine weitere Operation ist das Vektorprodukt, das in einigen Abschnitten benötigt wird.

Vektoren 1
Vektoren 2

Skalarprodukt Vektorprodukt

"Nichtlinearen" geometrischen Gebilden wie gekrümmten Kurven und Flächen (z.B. Kreisen und Kugeln) werden wir uns dann im Kapitel "Analytische Geometrie 3" zuwenden.

Die Vektorrechnung dient in der Geometrie hauptsächlich zwei Zwecken:

Da sie es gestattet, zwei bzw. drei Zahlen (z.B. die Koordinaten eines Punktes) zu einem Vektor-Objekt zusammenzufassen, können mit ihrer Hilfe mathematische Ausdrücke in einer sehr knappen Form angeschrieben und umgeformt werden. Die Vektorrechnung hilft, Schreibarbeit zu sparen und den Überblick zu bewahren.
Da Vektoren und ihre Operationen (vor allem Summe, Differenz, Vielfaches, Betrag und Skalarprodukt) eine unmittelbare geometrische Deutung besitzen, ist der geometrische Sinn vieler der verwendeten mathematischen Ausdrücke leicht erkennbar, und Rechenwege erscheinen transparenter als sie das ohne Verwendung der Vektorrechnung wären. Der Trick dabei ist, Vektoren als geometrische "Objekte für sich" aufzufassen, mit denen wir rechnen und argumentieren können, ohne dabei ständig an die Zahlen (Komponenten) zu denken, aus denen ein solches Objekt besteht.

Unser erster Schritt wird sein, die Beschreibung von Geraden in der zweidimensionalen Welt der Zeichenebene in vektorielle Form zu bringen.

Analytische Geometrie 3
(in Vorbereitung)

Beschreibung von Geraden in der Ebene

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Im ersten Geometrie-Kapitel haben wir besprochen, wie eine Gerade g in der Zeichenebene als Lösungsmenge einer linearen Gleichung in zwei Variablen x und y beschrieben werden kann. Eine derartige Gleichung kann immer in der Form

ax + by = c

(1)

angeschrieben werden, wobei a, b und c Konstante sind und zumindest einer der Koeffizienten a und b von 0 verschieden ist. Die Gerade g ist dann die Menge aller Punkte der Ebene, deren Koordinaten (x, y) die Gleichung (1) erfüllen. Weiters haben wir argumentiert, dass der aus den beiden Zahlen a und b gebildete Vektor

n = (a, b)

(2)

auf die Gerade normal (orthogonal) steht und daher deren Normalvektor heißt. Wir fassen nun auch die Koordinaten x und y des "allgemeinen Punktes" zu einem Vektor

x = (x, y)

(3)

Geradengleichungen

zusammen. Ausgangspunkt unserer Überlegungen ist das Skalarprodukt der beiden Vektoren (2) und (3). Mit Hilfe der allgemeinen Formel für das Skalarprodukt ergibt sich

nx = ax + by.

(4)

Bemerkenswerterweise ist das genau die linke Seite der Geradengleichung (1).

Normalvektorform

Berechnung des Skalarprodukts

Wir können die Beobachtung (4) benutzen, um die Geradengleichung (1) in der kürzeren Form

nx = c

(5)

anzuschreiben.

Diese Darstellung heißt Normalvektorform der Geraden. Die Gerade g kann nun beschrieben werden als die Menge aller Punkte der Ebene, deren Ortsvektor x die Gleichung (5) erfüllt.

Mit Hilfe der geometrischen Interpretation des Skalarprodukts wird sofort klar, warum eine Gleichung dieser Form immer auf eine Gerade führt. Erinnern wir uns, dass das Skalarprodukt zweier Vektoren n und x gleich dem Produkt aus dem Betrag |n| von n mit der orientierten (Normal-)Projektion x' von x auf n ist:

nx = x'|n|

(6)

In der Skizze ist n sowie der Ortsvektor x eines beliebigen Punktes der Geraden und die Projektion x' eingezeichnet. Für einen gegebenen Vektor n und eine gegebene Konstante c beschreibt (5) daher die Menge aller Punkte, für die die orientierte Projektion x' den konstanten Wert c/|n| hat. Klarerweise handelt es sich dabei um eine Gerade, deren Richtung normal zu n ist. Diese einfache Argumentation beweist, dass n tatsächlich ein Normalvektor von g ist. Sie leistet auf einen Schlag, was im ersten Vektor-Kapitel ohne Vektorrechnung doch einige Mühe gekostet hat.

geometrische Definition des Skalarprodukts

Richtung normal zu einer Geraden

Manchmal ist eine Gerade g durch einen Normalvektor n und einen Punkt P(x₀, y₀), der auf ihr liegt, gegeben. In diesem Fall kann die Konstante c mit einem einfachen Argument ermittelt werden: Da der Ortsvektor jedes auf g liegenden Punktes die Geradengleichung (5) erfüllt, gilt dies auch für den Punkt P. Mit P = (x₀, y₀) finden wir daher nP = c. Anstelle von (5) kann also auch

nx = nP

(7)

oder

n(x - P) = 0

(8)

geschrieben werden. Die letzte Form zeigt noch einmal deutlich die Stärken der Vektorrechnung: Sie besagt, dass der Verbindungsvektor x - P von einem gegebenen Punkt P der Geraden zu einem beliebigen Punkt x der Geraden normal auf n steht.

Beispiel: Eine Gerade besitzt den Normalvektor n = (3, 2) und geht durch den Punkt (5, -7). Um eine Gleichung zu finden, die sie beschreibt, kann (7) mit P = (5, -7) benutzt werden: nP = (3, 2) · (5, -7) = 3 · 5 - 2 · 7 = 1. Daher lautet die Normalvektorform
(3, 2) · x = 1
oder, in Komponenten ausgeschrieben,
3x + 2y = 1.
Die explizite Form der Geradengleichung ergibt sich durch Auflösen nach y.

explizite Geradengleichung

Die Normalverktorform bildet den Schlüssel zur Vereinfachung vieler Probleme der analytischen Geometrie, wie auch das nächste Thema zeigt.

Abstand Punkt - Gerade

Gegeben sei eine Gerade g in Normalvektorform (5) oder (7) und ein Punkt Q. Wie groß ist der (Normal-)Abstand d des Punktes von der Geraden?

Um dieses Problem zu lösen, betrachten wir die folgende Skizze:

Der Verbindungsvektor von einem Punkt P der Geraden zum gegebenen Punkt Q ist Q - P. Sein Skalarprodukt mit dem Normalvektor n ist gleich dem Produkt aus |n| und der orientierten Projektion von Q - P auf n. Letztere ist entweder gleich dem gesuchten Abstand d oder gleich -d (je nachdem, ob n von g aus in die Halbebene zeigt, in der Q liegt oder in die andere). Daher gilt n(Q - P) = ± d |n|. Wird die Form (5) der Geradengleichung verwendet, so ist nP = c, daher n(Q - P) = nQ - c. Damit ergeben sich zwei Formeln für den gesuchten Abstand:

|n(Q - P)|

|n|

|nQ - c|

|n|

(9)

Wenn Sie die Geradengleichung (5) in der leicht abgewandelten Form nx - c = 0 anschreiben, so ergibt sich daraus eine Merkregel: Man ersetze x durch Q (den Ortsvektor des Punktes Q) und dividiere durch den Betrag des Normalvektors n. Als zusätzliche Probe sehen wir: Liegt Q auf g, so erfüllt sein Ortsvektor die Geradengleichung (d.h. es gilt dann nQ - c = 0), woraus d = 0 folgt.

Lagebeziehungen von Geraden in der Ebene

Über die möglichen Lagebeziehungen von Geraden in der Zeichenebene haben wir bereits im ersten Geometrie-Kapitel gesprochen. Die Vektorrechnung eröffnet uns einige neue Möglichkeiten, die nötigen Berechnungen schnell durchzuführen, und diese wollen wir hier kurz vorstellen. Eine Gerade liegt in der Regel entweder in Normalvektorform oder in Parameterdarstellung vor. (Letztere wurde ebenfalls im ersten Geometrie-Kapitel besprochen). Im ersten Fall ist ein Normalvektor n bekannt, im zweiten Fall ein Richtungsvektor u.

Wenn Geraden in unterschiedlichen Darstellungen vorliegen, kann es notwendig sein, Normal- und Richtungsvektoren ineinander umzurechnen, um die Richtungen der Geraden vergleichen zu können. Dazu können Sie zwei einfache Regeln benutzen:

Lagebeziehungen von Geraden
Parameterdarstellung

Ist ein Vektor (r, s) gegeben, so steht (-s, r) normal auf ihn. In Worten: Wenn Sie die beiden Komponenten eines Vektors vertauschen und eine mit -1 multiplizieren, erhalten Sie einen auf den gegebenen normal stehenden Vektor. Machen Sie die Probe durch Berechung des Skalarprodukts! (Je nachdem, welche Komponente sie mit -1 multiplizieren, bekommen sie eine rechts- oder eine links-gedrehte Variante des gegebenen Vektors.
Zwei Vektoren sind zueinander parallel, wenn der eine ein Vielfaches des anderen ist.

Damit kann sehr schnell überprüft werden, ob zwei gegebene Geraden zueinander parallel sind. Benutzen Sie einfach eines der folgenden Kriterien: Zwei Geraden sind zueinander parallel,

wenn ihre Normalvektoren zueinander parallel sind.
wenn ihre Richtungsvektoren zueinander parallel sind.
wenn der Normalvektor der einen normal auf den Richtungsvektor der anderen steht.

Normalvektor auf
einen Vektor

Parallelität von Vektoren

Sind zwei Geraden zueinander parallel, so können sie identisch sein oder nicht. Falls sie einen gemeinsamen Punkt besitzen, sind sie identisch. Um zu entscheiden, welcher der beiden Fälle zutrifft, ermitteln Sie einen Punkt der einen Geraden und überprüfen Sie, ob er auf der anderen liegt (z.B. indem Sie ihn in deren Gleichung einsetzen).

Sind zwei Geraden nicht zueinander parallel, so besitzen sie, wie wir bereits wissen, genau einen Schnittpunkt. Wie Schnittpunkte von Geraden berechnet werden, haben wir bereits im ersten Geometrie-Kapitel besprochen.

Schnittmengen von Geraden

Beschreibung von Ebenen

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Ebenen spielen im (dreidimensionalen) Raum eine ähnliche Rolle wie Geraden in der Ebene. Dementsprechend können sie durch lineare Gleichungen geschrieben werden

Ebenengleichungen

Die naheliegende Verallgemeinerung der Geradengleichung (1) auf den (dreidimensionalen) Raum besteht darin, einen eigenen Term für die z-Koordinate dazuzuschreiben:

px + qy + rz = c,

(10)

wobei p, q, r und c Konstante sind und zumindest einer der Koeffizienten p, q und r von 0 verschieden ist. Überzeugen wir uns zunächst davon, dass die Lösungsmenge jeder derartigen Gleichung, d.h. die Menge aller Punkte im Raum, deren Koordinaten sie erfüllen, eine Ebene ist. Dazu fassen wir die Koeffizienten zum räumlichen (dreikomponentigen) Vektor

n = (p, q, r)

(11)

und die Koordinaten des "allgemeinen Punktes" zum Vektor

x = (x, y, z)

(12)

zusammen. Mit Hilfe der allgemeinen Formel für Skalarprodukt dreikomponentiger Vektoren ergibt sich

nx = px + qy + rz,

(13)

Skalarprodukt räumlicher Vektoren

was genau die linke Seite der Gleichung (10) ist. Letztere kann also auch in der Form

nx = c

(14)

geschrieben werden. Sie sieht nun genauso aus wie (5), wobei allerdings n und x räumliche Vektoren sind. Da das Skalarprodukt für räumliche Vektoren die gleiche geometrische Interpretation besitzt wie jenes für ebene Vektoren (nx = x' |n|, wobei x' die orientierte Projektion von x auf n ist), können wir genauso argumentieren wie im ebenen Fall oben: Die Menge aller Punkte, für die x' den konstanten Wert c/|n| hat, ist eine Ebene, auf die n normal steht. Damit ist erwiesen, dass jede Gleichung der Form (10) bzw. (14) eine Ebene beschreibt, deren Normalvektor n ist. Wir nennen diese Darstellung die Normalvektorform der Ebene.

geometrische Definition des Skalarprodukts

Wenn Sie sich anhand einfacher Beispiele darauf einstimmen wollen, aus der rechnerischen Beschreibung von Ebenen durch Gleichungen auf deren Lage zu schließen, dann klicken Sie auf den nebenstehenden Button!

Ist ein Punkt P(x₀, y₀, z₀) der Ebene bekannt, so kann in völliger Analogie zu den Darstellungen (7) und (8) der Geraden die Ebenengleichung auch in der Form

nx = nP

(15)

oder

n(x - P) = 0

(16)

geschrieben werden. Die letzte dieser Gleichungen besagt, dass der Verbindungsvektor x - P von einem gegebenen Punkt P der Ebene zu einem beliebigen Punkt x der Ebene normal auf n steht.

Beispiel: Eine Ebene besitzt den Normalvektor n = (3, 2, 1) und geht durch den Punkt (5, -7, 2). Um eine Gleichung zu finden, die sie beschreibt, kann (15) mit P = (5, -7, 2) benutzt werden: nP = (3, 2, 1) · (5, -7, 2) = 3 · 5 - 2 · 7 + 1 · 2 = 3. Daher lautet die Normalvektorform
(3, 2, 1) · x = 3
oder, in Komponenten ausgeschrieben,
3x + 2y + z = 3.

Abstand Punkt - Ebene

Beispiele für Ebenen

Gegeben sei eine Ebene e in Normalvektorform (15) oder (16) und ein Punkt Q. Wie groß ist der (Normal-)Abstand d des Punktes von der Ebene?

Die Argumentation, die diese Frage löst, kann wortwörtlich vom oben behandelten Problem des Abstands eines Punktes von einer Geraden in der Zeichenebene übernommen werden. Das Resultat ist

|n(Q - P)|

|n|

|nQ - c|

|n|

(17)

Wenn Sie die Ebenengleichung (14) in der leicht abgewandelten Form nx - c = 0 anschreiben, so ergibt sich daraus die Merkregel: Man ersetze x durch Q (den Ortsvektor des Punktes Q) und dividiere durch den Betrag des Normalvektors n. Als zusätzliche Probe sehen wir: Liegt Q auf e, so erfüllt sein Ortsvektor die Ebenengleichung (d.h. es gilt dann nQ - c = 0), woraus d = 0 folgt.

Untersuchungen zur Lage einer Ebene

Ist eine Ebene e in Normalvektorform gegeben, so ist es (um sie sich vorstellen zu können oder eine Skizze anzulegen) hilfreich, zu wissen, wie sie in Bezug auf das Koordinatensystem liegt. Die einfachste Möglichkeit, das zu tun, besteht darin, ihre Schnittpunkte mit den drei Koordinatenachsen zu suchen.

Dazu schreiben wir die Ebenengleichung in der Form (10) aus. Um den Schnittpunkt von e mit der x-Achse zu suchen, müssen wir die Tatsache benutzen, dass für jeden Punkt auf der x-Achse die Koordinaten y und z gleich 0 sind. Wir setzen in (10) also y = z = 0 und erhalten die Gleichung

px = c,

(18)

für x. Nun können einige Fälle auftreten:

Ist p ¹ 0, so gibt es genau eine Lösung

x = c
p .
(19)

Der Schnittpunkt mit der x-Achse hat die Koordinaten (c/p, 0, 0).
Ist p = 0 und c = 0, so ist jedes x eine Lösung von (18). Das bedeutet, dass die x-Achse in der Ebene e liegt.
Ist p = 0 und c ¹ 0, so gibt es keine Lösung. In diesem Fall besitzt die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x-Achse.

Das gleiche Verfahren wird auf die y- und die z-Achse angewandt. Mit den Informationen über Existenz und Lage der Schnittpunkte (den Achsen-Abschnitten) können Sie die Ebene in eine Skizze einzeichnen (oder ihre Lage in einem Modell, in dem Bleistifte die Achsen darstellen, angeben).

Tipp zum Zeichnen von Ebenen: Beginnen Sie räumliche Skizzen mit einer schrägen Ansicht jenes Bereichs ("Oktanten") des Raumes, in dem alle Koordinaten positiv sind:

Die Ebene x + 2y/3 + z = 2 besitzt mit den Achsen die Schnittpunkte (2, 0, 0), (0, 3, 0) und (0, 0, 2). Sie kann so skizziert werden:

Die Ebene x + 3y = 2 besitzt mit der z-Achse keinen Schnittpunkt, d.h. sie "steht senkrecht". Sie schneidet die xy-Ebene in einer Geraden (rot eingezeichnet), deren Gleichung (vom Standpunkt der xy-Ebene aus betrachtet) x + 3y = 2 ist:

Umgekehrt kann die Gleichung einer Ebene aus geometrischen Informationen wie der Lage der Schnittpunkte mit den Achsen bestimmt werden. Um den Umgang mit Ebenengleichungen zu üben, versuchen Sie, die Gleichungen der im nebenstehenden Applet gezeigten Ebenen (die Sie zusammen mit dem Koordinatensystem dynamisch verdrehen und von allen Seiten betrachten können) zu finden!

Applet
Ebenen bestimmen

Parameterdarstellung der Ebene

Ebenso wie die Gerade besitzt auch die Ebene eine Parameterdarstellung (die allerdings weniger oft benötigt wird). Sie besitzt zwei Parameter. Rekapitulieren wir zunächst kurz die Parameterdarstellung einer Geraden g (in der Zeichenebene oder im Raum): Ist A der Ortsvektor eines Punktes A von g und u ein Richtungsvektor von g, so ist

x(t) = A + t u

(20)

für jeden Wert des Parameters t der Ortsvektor eines Punktes von g. Durchläuft der Parameter t die Menge der reellen Zahlen, so durchläuft x(t) die gesamte Gerade. Bildlich gesprochen: Befindet man sich auf einer Geraden und geht ein beliebiges relles Vielfaches eines Richtungsvektors weiter, so bleibt man immer auf der Geraden.

Um eine Ebene e in analoger Weise zu beschreiben, benötigt man

einen Punkt von e (mit Ortsvektor A) und
zwei Vektoren u und v, die beide innerhalb der Ebene liegen und nicht zueinander parallel (d.h. keine Vielfache voneinander) sind.

Dann ist

x(t, s) = A + t u + s v

(21)

für beliebige reelle Werte der Parameter t und s der Ortsvektor eines Punktes der Ebene. Anschaulich kann die dahinter stehende Idee so ausgedrückt werden: Befindet man sich auf der Ebene und geht ein beliebiges relles Vielfaches von u und danach eine beliebiges reelles Vielfaches von v weiter, so bleibt man immer auf der Ebene.

Im Gegensatz zur Beschreibung einer Geraden sind nun im Fall der Ebene zwei Parameter nötig, da die Ebene zweidimensional ist. Wir können auch sagen, dass eine Gerade von einem Richtungsvektor "aufgespannt" wird, während zum "Aufspannen" einer Ebene zwei Vektoren nötig sind. Sollten Sie einmal eine Parameterdarstellung einer Ebene aufstellen müssen, so wählen Sie u und v als nicht zueinander parallele Verbindungsvektoren von (ansonsten beliebigen) Punkten der Ebene.

Parameterdarstellung von Geraden
in der Ebene
im Raum

Lagebeziehungen von Ebenen

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Wir haben oben gezeigt, dass jede Ebene als Lösungsmenge einer linearen Gleichung in drei Variablen beschrieben werden kann. Umgekehrt kann die Lösungsmenge jeder linearen Gleichung (deren Koeffizienten nicht alle 0 sind) geometrisch als Ebene gedeutet werden. Die Lösungsmenge eines Systems von mehreren linearen Gleichungen in drei Variablen kann daher als Schnittmenge der entsprechenden Ebenen gedeutet werden. Da lineare Gleichungssysteme in Anwendungen der Mathematik oft auftreten, bekommt die Frage nach den möglichen Lagebeziehungen von Ebenen (ebenso wie die im ersten Geometrie-Kapitel besprochene Frage nach den Lagebeziehungen von Geraden in der Zeichenebene) eine über die Geometrie hinausgehende Bedeutung.

Lineare Gleichungssysteme

Lagebeziehungen von Geraden in der Ebene

Da den Lösungstechniken von Gleichungssystemen ein eigenes Kapitel vorbehalten ist, werden wir hier im Detail nicht darauf eingehen. Die wichtigsten Informationen darüber können Sie dem nebenstehenden Exkurs entnehmen.

Wir nennen zwei Ebenen zueinander parallel, wenn sie entweder identisch sind oder keinen gemeinsamen Punkt besitzen. Diese Sprechweise leitet sich von der entsprechenden Eigenschaft von Geraden her: Zwei Geraden sind zueinander parallel, wenn sie entweder identisch sind oder keinen gemeinsamen Punkt besitzen. (Dass zwei Ebenen zueinander parallel sind, bedeutet natürlich nicht, dass jeder Vektor, der in der einen Ebene liegt, parallel zu jedem Vektor ist, der in der anderen Ebene liegt).

Das wichtigste Werkzeug bei der ersten Analyse der Lagebeziehung zweier Ebenen ist nun die folgende einfache Tatsache:

Zwei Ebenen sind genau dann zueinander parallel, wenn ihre Normalvektoren zueinander parallel sind.

Darin zeigt sich eine Stärke der Normalvektorform für Ebenen: Ein Normalvektor n legt die Lage einer Ebene bis auf eine Parallelverschiebung eindeutig fest.

Lösungsfälle

Lineare Gleichungssysteme

Wenden wir uns nun der Frage zu, welche konkreten Lagebeziehungen zwei oder drei Ebenen zueinander einnehmen können.

Lagebeziehungen zweier Ebenen:
Die Schnittmenge ist die Lösungsmenge des entsprechenden System von zwei Gleichungen in drei Variablen.
Hier sind zwei Fälle möglich:
1. Die beiden Ebenen sind zueinander parallel.
  Hier sind zwei Unterfälle möglich:
  - Die beiden Ebenen sind identisch. Die beiden Gleichungen des Systems sind äquivalent. Das System besitzt unendlich viele Lösungen (die als Punkte einer Ebene gedeutet werden können).
  - Die beiden Ebenen sind nicht identisch, haben daher keinen gemeinsamen Punkt. Das entsprechende Gleichungssystem besitzt keine Lösung (a).
2. Die beiden Ebenen sind nicht zueinander parallel.
  Ihre Schnittmenge ist eine Gerade (b). Das entsprechende Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen (die als Punkte einer Geraden gedeutet werden können).

Lagebeziehungen dreier Ebenen:
Die Schnittmenge ist die Lösungsmenge des entsprechenden System von drei Gleichungen in drei Variablen.
Hier sind drei Fälle möglich:
1. Alle drei Ebenen sind zueinander parallel.
  Hier sind drei Unterfälle möglich:
  - Alle drei Ebenen sind identisch. Alle drei Gleichungen des Systems sind äquivalent. Das System besitzt unendlich viele Lösungen (die als Punkte einer Ebene gedeutet werden können).
  - Zwei Ebenen sind identisch und von der dritten verschieden. Daher haben die drei Ebenen keinen gemeinsamen Punkt. Das entsprechende Gleichungssystem besitzt keine Lösung.
  - Alle drei Ebenen sind voneinander verschieden (c). Daher haben sie keinen gemeinsamen Punkt. Das entsprechende Gleichungssystem besitzt keine Lösung.
2. Zwei Ebenen sind zueinander parallel, die dritte ist nicht zu einer der beiden ersten parallel.
  Hier sind zwei Unterfälle möglich:
  - Die beiden parallelen Ebenen sind identisch. Die drei Ebenen haben daher eine Gerade gemeinsam. Das entsprechende Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen (die als Punkte einer Geraden gedeutet werden können).
  - Die beiden parallelen Ebenen sind nicht identisch. Die drei Ebenen haben daher keinen gemeinsamen Punkt. Das entsprechende Gleichungssystem besitzt keine Lösung.
3. Keine zwei der gegebenen Ebenen sind zueinander parallel.
  Hier sind zwei Unterfälle möglich:
  - Die Normalvektoren der drei Ebenen sind linear abhängig, d.h. einer lässt sich als Linearkombination der beiden anderen ausdrücken.
    Hier sind zwei Unterfälle möglich:
    - Die drei Ebenen haben keinen gemeinsamen Punkt (d). (Jeweils zwei der Ebenen besitzen eine gemeinsame Gerade, aber die drei auf diese Weise entstehenden Geraden sind zueinander parallel). Das entsprechende Gleichungssystem besitzt keine Lösung.
    - Die drei Ebenen haben eine Gerade gemeinsam (e). Das entsprechende Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen (die als Punkte einer Geraden gedeutet werden können).
  - Die Normalverktoren der drei Ebenen sind linear unabhängig. Die drei Ebenen besitzen genau einen gemeinsamen Punkt. Das entsprechende Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung.

Kurz zusammengefasst: Die Schnittmenge zweier oder dreier Ebenen kann leer, ein Punkt, eine Gerade oder eine Ebene sein. Auch wenn weitere Ebenen (d.h. weitere lineare Gleichungen) hinzugefügt werden, ändert sich daran nichts. Um die Schnittmengen in konkreten Fällen zu ermitteln, müssen die entsprechenden Gleichungssysteme gelöst werden. In manchen Fällen können geometrische Überlegungen und die Zuhilfenahme der Methoden der Vektorrechnung helfen.

Schnittgerade zweier Ebenen

Linearkombination

Lineare (Un-)Abhängigkeit

Zwei Ebenen, die nicht zueinander parallel sind, schneiden einander in einer Geraden, der so genannten Schnittgeraden. Wie kann sie berechnet werden?

Dazu erinnern wir uns, wie Geraden im Raum rechnerisch beschrieben werden: Im ersten Geometrie-Kapitel haben wir dazu die Parameterdarstellung benutzt. Damit stellt sich das Schnittproblem so: Zwei Ebenen e und e' seien durch Normalvektorformen nx = c und n'x = c' oder die entsprechenden in Komponenten ausgeschriebenen Gleichungen

Parameterdarstellung von Geraden im Raum

e : px + qy + rz = c
e' : p'x + q'y + r'z = c'

(22)

gegeben. Gesucht ist eine Parameterdarstellung ihrer Schnittgeraden.

Um eine Parameterdarstellung einer Geraden im Raum angeben zu können, müssen wir

einen Richtungsvektor der Geraden und
die Lage eines Punktes der Geraden

kennen.

Wir besprechen zwei Methoden, das zu erreichen:

Methode 1:
Sie besteht darin, eine Koordinate als Parameter zu wählen. Wir illustrieren sie anhand eines Beispiels. Die Gleichungen der beiden Ebenen seien:
e :   2x + 3y + 4z = 5
e' :   4x + 3y + 2z = 1
Wir lösen die erste Gleichung nach x:
x = (5 - 3y - 4z)/2.
Dies setzen wir in die zweite Gleichung ein, die dann die Form
y + 2z = 3
annimmt. Nach y aufgelöst, ergibt sich
y = 3 - 2z
Zusammengefasst, ist das Gleichungssystem zu
x = (5 - 3y - 4z)/2
y = 3 - 2z
äquivalent. Wird die zweite in die erste Gleichung eingesetzt, so vereinfacht es sich zu
x = -2 + z
y = 3 - 2z.
Damit haben wir eine Parameterdarstellung der gesuchten Schnittgeraden gefunden, in der die Koordinate z die Rolle des Parameters spielt. Wir können sie auch in der Form
x(t) = -2 + t
y(t) = 3 - 2t
z(t) = t
anschreiben, wobei die dritte Gleichung die Identifizierung von t mit z ausdrückt.

Ganz allgemein besteht das Ziel dieses Verfahrens darin, zwei Koordinaten durch die dritte auszudrücken (die dann die Rolle des Parameters spielt). Sollten Sie versuchen, es auf zwei zueinander parallele Ebenen anzuwenden, so ergibt sich bereits nach dem zweiten Schritt entweder eine Identität (0 = 0) oder ein Widerspruch (0 = 1). In diesen Fällen ist die Schnittmenge keine Gerade, sondern eine Ebene oder leer.

Methode 2:
Die zweite Methode ist geometrisch intuitiver und zeigt einmal mehr die Stärken der Vektorrechnung. Suchen wir zuerst einen Richtungsvektor. Er liegt innerhalb jeder der beiden Ebenen, muss also auf beide Normalvektoren n und auf n' normal stehen. Durch diese Eigenschaft ist er aber bis auf Vielfache bereits eindeutig bestimmt. (Nehmen Sie zwei Bleistifte und halten Sie sie so, dass sie nicht in die gleiche Richtung zeigen. Alle Vektoren, die auf beide Bleistifte normal stehen, sind zueinander parallel). Unter Verwendung des Vektorprodukts, das im zweiten Vektor-Kapitel eingeführt wurde, lässt sich so ein Vektor leicht angeben: Das Vektorprodukt nÙn' ein Vektor ist, der auf n und auf n' normal steht. Damit ist ein Richtungsvektor der Schnittgeraden gefunden: u = nÙn'.

Vektorprodukt

Nun benötigen wir noch die Koordinaten eines Punktes, der auf der Schnittgeraden liegt. Ein mögliches Verfahren besteht darin, den Durchstoßpunkt der Schnittgeraden mit einer der Koordinatenebenen zu ermitteln. Dazu betrachten wir die Ebenengleichungen in der Form (22). Wir probieren zuerst aus, ob die Schnittgerade die xy-Ebene durchstößt. Dazu fassen wir (22) als Gleichungssystem auf, setzen z = 0 (die Gleichung der xy-Ebene) und versuchen, das verbleibende System nach (x, y) zu lösen. Gelingt das, so ist ein Punkt auf der Schnittgeraden gefunden - ergibt sich ein Widerspruch, so durchstößt die Schnittgerade die xy-Ebene nicht, und wir versuchen es mit der yz-Ebene und wenn das auch nicht klappt, mit der xz-Ebene. In einem dieser drei Fälle müssen wir Erfolg haben, denn es gibt keine Gerade, die keine der drei Koordinatenebenen durchstößt. Auf diese Weise können wir einen Punkt der Schnittgeraden ermitteln. Wir nennen seinen Ortsvektor A.

Die gesuchte Parameterdarstellung ist dann

x(t) = A + t u.

Damit ist das Schnittproblem gelöst. Sollten Sie versuchen, dieses Verfahren auf zwei zueinander parallele Ebenen anzuwenden, so ergibt sich bei der Berechnung des Richtungsvektors u = nÙn' = 0, da das Vektorprodukt zweier paralleler Vektoren gleich dem Nullvektor ist, dessen Komponenten alle gleich 0 sind. In diesem Fall ist die Schnittmenge keine Gerade, sondern, wie wir bereits wissen, entweder eine Ebene oder leer.

Schnittpunkt dreier Ebenen

Nullvektor

Besitzen drei Ebenen genau einen Schnittpunkt, so stehen zwei Methoden zur Verfügung, seine Lage zu ermitteln:

Es wird das entsprechende Gleichungssystem (drei Gleichungen in drei Variablen) gelöst.
Es wird die Schnittgerade zweier Ebenen ermittelt und dann mit der dritten Ebene geschnitten. (Wie der Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene ermittelt wird, werden wir weiter unten besprechen).

Wird versucht, eines dieser Verfahren in einer Situation anzuwenden, in der die drei Ebenen keinen eindeutigen Schnittpunkt besitzen, so tritt im Zuge der Berechnung entweder eine Identität oder ein Widerspruch auf.

Lagebeziehungen von Ebenen und Geraden

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In räumlichen geometrischen Aufgabenstellungen tritt manchmal der Fall auf, dass eine (in Parameterdarstellung gegebene) Gerade eine (in Normalvektorform gegebene) Ebene durchstößt. Wie läßt sich die Lage des Durchstoßpunktes ermitteln?

Dazu erinnern wir uns an die geometrische Bedeutung der Parameterdarstellung: Sie gibt für jeden Wert t des Parameters einen Punkt x(t) der Geraden an. Um den Durchstoßpunkt mit einer Ebene zu bestimmen, müssen wir fragen, welcher Parameterwert ihm entspricht. Da jeder Punkt der Ebene die Ebenengleichung nx = c erfüllt, gilt dies auch für den Durchstoßpunkt. Der gesuchte Parameterwert t ist daher jener, für den die Gleichung nx(t) = c gilt. Das ist eine lineare Gleichung in einer Variablen t, also rechnerisch überhaupt kein Problem. Ist die Parameterdarstellung x(t) = A + t u, so lautet die Gleichung

nA + t nu = c.

(23)

Damit ist der gesuchte Durchstoßpunkt (von dem wir vorausgesetzt haben, dass er existiert) gefunden. Er entspricht dem Parameterwert t = (c - nA)/nu.

Sind eine Gerade und eine Ebene gegeben, so können aber auch zwei andere Fälle auftreten:

Die Gerade liegt innerhalb der Ebene. In diesem Fall führt die Gleichung (23) auf eine Identität, d.h. jedes t ist eine Lösung.
Die Gerade hat keinen gemeinsamen Punkt mit der Ebene. In diesem Fall führt die Gleichung (23) auf einen Widerspruch, d.h. sie besitzt keine Lösung.

Diese beiden Fälle können daran erkannt werden, dass der Richtungsvektor der Geraden auf den Normalvektor der Ebene normal steht (nu = 0). Die Variable t fällt dann ganz aus der Gleichung (23) heraus. Daraus ergibt sich ein bequemes Kriterium zur Feststellung der Lagebeziehung einer Geraden mit einer Ebene:

Eine Gerade mit Richtungsvektor u besitzt mit einer Ebene mit Normalvektor n einen eindeutigen Durchstoßpunkt genau dann, wenn nu ¹ 0 ist.

Es ist eine gute Übung in Geometrie, wenn Sie versuchen, sich diese Aussage vorzustellen.

Parameterdarstellung von Geraden im Raum

Lagebeziehungen von Geraden im Raum

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Zwei Geraden im Raum können zueinander folgende Lagebeziehungen annehmen:

Sie sind parallel (d.h. ihre Richtungsvektoren sind Vielfache voneinander).
Hier sind zwei Unterfälle möglich:
- Sie sind identisch.
- Sie sind nicht identisch und haben daher keinen Punkt gemeinsam.
Sie sind nicht parallel. Hier sind zwei Unterfälle möglich:
- Sie haben keinen gemeinsamen Punkt. In diesem Fall heißen sie windschief.
- Sie haben genau einen gemeinsamen Punkt.

Falls zwei Geraden (beide durch eine Parameterdarstellung gegeben) genau einen gemeinsamen Punkt besitzen, so kann dieser mit genau derselben Methode ermittelt werden, die wir im ersten Geometrie-Kapitel benutzt haben, um den Schnittpunkt zweier Geraden der Zeichenebene in der Parameterdarstellung zu bestimmen. Zu beachten ist dabei, dass jede Gerade eine eigene Parametervariable bekommen muss (etwa t für die erste und s für die zweite Gerade). Lauten die Parameterdarstellungen dann
g : x(t) = A + t u
g' : x'(s) = A' + s u',
so besteht das rechnerische Problem darin, jene Parameterwerte t und s zu bestimmen, für die x(t) = x'(s) oder, ausgeschrieben,
A + t u = A' + s u'
gilt. Dabei handelt es sich um ein System von drei Gleichungen (für jede Komponente eine) in nur zwei Variablen. Jedes System, das mehr Gleichungen als Variable besitzt, läuft Gefahr, überbestimmt zu sein und zu einem Widerspruch zu führen. Dies ist der algebraische Grund dafür, dass die Existenz eines Schnittpunkts von Geraden im Raum eher der Ausnahmefall ist.

Geradenschnittpunkt
in der
Parameterdarstellung

Weitere Aufgabentypen

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Je nach dem Unterricht, den Sie genießen, werden Sie vielleicht Aufgabenstellungen bearbeiten müssen, die hier nicht vorgekommen sind. Daher listen wir zum Abschluss noch einige weitere Aufgabentypen zusammen mit Lösungshinweisen auf:

Aufgabenstellung	Lösungshinweis
Es ist die Ebene, auf der drei gegebene Punkte liegen, zu bestimmen.	Werden die drei Punkte mit A, B und C bezeichnet, so liegen die Verbindungsvektoren B - A und C - A in der gesuchten Ebene. Deren Vektorprodukt (zweites Vektor-Kapitel) n = (B - A)Ù(C - A) steht normal auf beide, ist also ein brauchbarer Normalvektor der Ebene. Mit (15) lautet die Normalvektorform der gesuchten Ebene dann nx = nA (wobei anstelle von A auch B oder C verwendet werden kann).
Es ist die Ebene, in der ein gegebener Punkt und eine gegebene Gerade liegen, zu bestimmen.	Wird der gegebene Punkt mit P bezeichnet, und ist die Gerade in Parameterdarstellung x(t) = A + tu gegeben, so liegen der Richtungsvektor u und der Verbindungsvektor A - P in der gesuchten Ebene. Deren Vektorprodukt (zweites Vektor-Kapitel) n = uÙ(A - P) steht normal beide, ist also ein brauchbarer Normalvektor der Ebene. Da P ein Punkt der gesuchten Ebene ist, lautet mit (15) deren Normalvektorform nx = nP (wobei anstelle von P auch A verwendet werden kann).
Es ist die Gerade durch einen gegebenen Punkt und normal auf eine gegebene Ebene zu bestimmen.	Ist der Normalvektor der Ebene einmal bekannt, so enthält die Angabe alles, was für die Parameterdarstellung der gesuchten Geraden benötigt wird: einen Punkt, der auf ihr liegt und einen Richtungsvektor (der Normalvektor der Ebene).
Es ist der Winkel zwischen zwei Ebenen zu bestimmen.	Der Winkel zwischen zwei Ebenen ist definiert als der Winkel zwischen ihren Normalvektoren. Wie der Winkel zwischen zwei Vektoren bestimmt wird, wurde im zweiten Vektor-Kapitel besprochen.
Es ist der Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene zu bestimmen.	Als Maß zwischen dem Winkel einer Geraden und einer Ebene kann der Winkel zwischen dem Richtungsvektor der Geraden und dem Normalvektor der Ebene dienen. Ist dieser Winkel a (zwischen 0° und 90°), so ist der Neigungswinkel der Geraden relativ zur Ebene (d.h. der kleinste Winkel, der zwischen der Geraden und einem in der Ebene liegenden Vektor möglich ist) durch 90° - a gegeben. Wie der Winkel zwischen zwei Vektoren bestimmt wird, wurde im zweiten Vektor-Kapitel besprochen.
Es ist der Abstand d zweier paralleler Ebenen zu bestimmen.	Sind die Ebenengleichungen nx = c und nx = c' (beachten Sie: beide haben den gleichen Normalvektor n), und sind P und P' die Ortsvektoren zweier Punkte auf den jeweiligen Ebenen, so bilden wir den Verbindungsvektor v = P - P'. Sein Skalarprodukt mit n ist gleich dem Produkt aus \|n\| und der orientierten Projektion von v auf n. Letztere ist gleich d oder -d. Daher ist nv = ± d \|n\|. Andererseits ist nv = nP - nP' = c - c'. Daher ist d = \|c - c'\|/\|n\|.
Es ist der Abstand eines Punktes von einer Geraden im Raum zu bestimmen.	Ist u ein Richtungsvektor der Geraden, so berechnen wir mittels (15) jene Ebene durch den gegebenen Punkt (wir nennen ihn P), die u als Normalvektor besitzt. Danach wird deren Schnittpunkt Q mit der gegebenen Geraden berechnet. Der gesuchte Abstand ist dann der Abstand der Punkte P und Q (d.h. der Betrag ihres Verbindungsvektors).

Zusammen mit den beiden Vektor-Kapiteln sollte Ihnen dieses und das erste Geometrie-Kapitel ausreichende Kenntnisse und Techniken vermittelt haben, um auch für neue Problemstellungen gewappnet zu sein.

Analytische Geometrie 1

Kapitel Vektoren 1 und 2

Vektoren 1
Vektoren 2

Damit haben wir die Besprechung der "linearen Gebilde" (Geraden und Ebenen) abgeschlossen. Im dritten Geometrie-Kapitel werden wir uns den gekrümmten Gebilden zuwenden.

Analytische Geometrie 3
(in Vorbereitung)

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