| 1.1. Einführende
Bemerkungen |
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Die
Statistik als sozialwissenschaftliches Betätigungsfeld
(Instrumentarium) zerfällt im Wesentlichen in zwei Gebiete: die
deskriptive (beschreibende) Statistik und die Inferenz-
(schließende) statistik.
Die deskriptive Statistik
befasst sich mit der kompakten Beschreibung von
erhobenen/festgestellten Merkmalsverteilungen in einer bestimmten
Menge von Objekten. Sie gibt uns Hilfsmittel in die Hand mit denen
wir uns einen Überblick über die Fülle des Materials verschaffen
können. Sie erleichtert uns auch die Kommunikation wesentlicher
Informationen.
In den Sozialwissenschaften stellen wir uns
aber häufig auch die Frage nach der Generalisierbarkeit von
Ergebnissen, d.h. wir wollen aufgrund der Beschaffenheit einer
kleinen Teilmenge (Stichprobe) Aussagen über die Strukturen der
zugrundeliegenden Menge (Grundgesamtheit, Population) machen. Mit
den damit verbundenen Verfahren und Problemen beschäftigt sich die
Inferenzstatistik .
In einer empirischen Untersuchung
ziehen wir zunächst eine Stichprobe (siehe 1.2), anhand deren wir
bestimmte statistische Kennwerte (wie arithmetisches Mittel,
Standardabweichung usw.) berechnen, anhand deren wir die Parameter
in der Population schätzen. Diese Punktschätzungen sind mehr oder
weniger genau. Um diese Ungenauigkeit abschätzen zu können, haben
wir letztes Semester die Konfidenzintervalle kennen gelernt. Mit den
Eigenschaften des Konfidenzintervalls beschäftigt sich Pkt. 1.4
In Pkt. 1.3 wird das fundamentale Konzept der
Signifikanztests erläutert. Hierbei wird die Theorie behandelt, wie
man von Kennwerten einer Stichprobe auf den entsprechenden Parameter
in der Grundgesamtheit schließen kann. Aus didaktischen Gründen der
Einfachheit beschränken wir uns dabei auf das arithmetische Mittel
bzw. den Parameter µ [mü].
Zur
Ergänzung und Vertiefung dienen Ihnen die im Literaturkapitel
angeführten Standardwerke sowie diverse Suchmaschinen des Internets.
Unter 1.3. ist etwa ein link angegeben, der ein
Folienset zum Thema "Inferenzstatistik" enthält, welches durch die
Suchmaschine "Google" mit dem Begriff
"Stichprobenkennwerteverteilung" gefunden wurde. Beachten Sie aber,
dass auf das Internet im Grunde genommen das Bildnis eines
Müllhaufens zutrifft!
Vorgriff
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1.2. Ziehen
von Stichproben, Arten von Stichproben
http://www.mathe-online.at/materialien/die_normalverteilten/
files/aufgabenblatt.doc |
 
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Statistische Untersuchungen haben meist das Ziel über
interessierende Eigenschaften einer bestimmten Gruppe von Personen
oder Objekten (Grundgesamtheit) Informationen zu erhalten. Da es aus
vielerlei Gründen nicht immer möglich ist, die ganze Grundgesamtheit
zu untersuchen (Vollerhebung), beschränkt man sich häufig auf die
Untersuchung eines Teils dieser Grundgesamtheit (Stichprobe) und
versucht von den in dieser Teilmenge vorgefundenen Eigenschaften auf
die Eigenschaften in der Grundgesamtheit zu schließen. Kann aufgrund
theoretischer Überlegungen von der Verteilung der
Merkmalsausprägungen in der Stichprobe auf jene in der
Grundgesamtheit geschlossen werden, so nennt man die Stichprobe
repräsentativ für die Grundgesamtheit. Ist eine Stichprobe in
bezug auf alle Merkmale der Grundgesamtheit repräsentativ, so
spricht man von globaler Repräsentativität, ist sie dies nur
bezüglich bestimmter Merkmale, so spricht man von spezifischer
Repräsentativität. Die Wahl der Repräsentativität ist vom
Untersuchungsdesign und den Vorkenntnissen über die zu überprüfenden
Hypothesen abhängig.
Eine Stichprobe ist sozusagen ein
Miniaturbild der Grundgesamtheit. Je besser dieses Bild ist, desto
besser lassen sich Schlüsse über die Population ziehen. Darüber
hinaus ist die Präzision der getroffenen Aussagen von der Größe der
Stichprobe abhängig (siehe hierzu 1.3, 1.5 und 1.6).
Zufallsstichprobe (random sample)
Eine
Zufallsstichprobe ist dadurch charakterisiert, dass jedes Element
der Grundgesamtheit mit gleicher Wahrscheinlichkeit in die
Stichprobe aufgenommen werden kann. Die Ziehung einer
Zufallsstichprobe empfiehlt sich dann, wenn über die Verteilung der
für die Untersuchung relevanten Merkmale wenig oder gar nichts
bekannt ist.
Geschichtete Stichprobe (stratified
sample)
Sind in einer Untersuchung die relevanten Einflussgrößen
bekannt (wie etwa Geschlecht, Einkommen etc.), so empfiehlt es sich
eine in bezug auf diese Determinanten repräsentative Stichprobe zu
ziehen, d.h. die Verteilung dieser Merkmale in der Population in der
Stichprobe abzubilden. Die Auswahl innerhalb der Schichten erfolgt
wiederum zufällig.
Klumpenstichprobe (cluster
sample)
Eine Klumpenstichprobe besteht aus allen Einheiten, die
sich in zufällig ausgewählten Klumpen befinden. Interessiert man
sich z.B. für die Grundgesamtheit der AHS-Schüler, so stellt die
zufällige Auswahl und vollständige (!) Untersuchung mehrerer
Schulklassen eine Klumpenstichprobe dar.
Aufgabe:
Bearbeiten Sie nun Punkt 1 des
Aufgabenblatts (siehe link)!
Eintrag in das Lerntagebuch
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1.3. Stichprobenkennwerteverteilung
http://www2.rz.hu-berlin.de/esf/statI/
hypothesenueberpruefung.pdf |
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Nehmen Sie sich für dieses
Kapitel ausreichend Zeit! Versuchen Sie jeden einzelnen Gedankengang
nachzuvollziehen und fahren Sie mit dem Lesen des Textes erst dann
fort, wenn Sie der Meinung sind, diesen Gedankengang jemand anderen
erklären zu können, sprich: Sie sind der Auffassung, Sie haben ihn
verstanden :-)
Die fundamentale
Aussgangssituation sieht folgendermaßen aus: Zunächst wird eine
Grundgesamtheit definiert, aus der eine Zufallsstichprobe vom Umfang
n gezogen wird. Wir erheben in dieser Stichprobe die Ausprägungen
der Variablen X und berechnen das arithmetische Mittel (AM). Wie gut
schätzt nun AM den Parameter (wahre Kenngröße) µ?
Der
zentrale Gedanke ist nun: Angenommen wir ziehen noch eine zweite
Stichprobe vom gleichen Unfang aus der Population und berechnen
abermals AM. Je näher diese beiden Kennwerte beieinander liegen,
desto eher würden wir annehmen, dass sie den Parameter µ gut
schätzen. Es erscheint auch plausibel, das AM der beiden Kennwerte
zu berechnen und als Schätzwert heran zu ziehen. Des weiteren wird
angenommen, dass die AM verschiedener Stichproben aus derselben
Grundgesamtheit nicht identisch sind, sondern um den Parameter µ
streuen. Ziehen wir nun aus der Population (theoretisch unendlich)
viele Stichproben, so erhalten wir für jede ein AM. Die Verteilung
dieser (theoretisch unendlich) vielen AM nennt man
Stichprobenkennwerteverteilung.
Der Standardfehler
Die Streuung der Stichprobenkennwerteverteilung ist ein
Maß dafür, wie gut ein Kennwert den Parameter schätzt. Die
Standardabweichung der AM-Werteverteilung von gleich großen
Stichproben wird als Standardfehler bezeichnet.
Der
Standardfehler ist im Wesentlichen von 2 Determinanten abhängig:
(1) Von der Streuung der Messwerte in der Population.
Dieser Feststellung liegt folgender Gedankengang zu Grunde:
Angenommen in der Population wären alle Messwerte identisch. Wie
verhalten sich die gewonnen Kennwerte gezogener Stichproben
zueinander? Sie wäre ebenfalls identisch! Das wiederum bedeutet, sie
entsprächen alle dem Parameter µ, der Standardfehler wäre Null.
Streut das Merkmal in der Population sehr stark, so sind Stichproben
denkbar, in den sich viele Einheiten mit geringer (oder hoher)
Ausprägung befinden, so dass die erhaltenen AM stark voneinander
abweichen, der Standardfehler wäre groß.
Mathematisch
formuliert: Der Standardfehler (genau genommen die Varianz der
AM-Werteverteilung) ist proportional zur Streuung des Merkmals in
der Grundgesamtheit. D.h.: Je größer die Streuung des Merkmlas,
desto größer der Standardfehler.
(2) Von der
Stichprobengröße n
Wiederum sei dieser Sachverhalt an folgendem
Gedankengang skizziert: Angenommen, die Stichproben wären alle vom
gleichen Umfang der Population, so würden wir bei Ziehung von k
Stichproben de facto k-mal die Grundgesamtheit untersuchen. Wie hoch
wäre dann der Standardfehler? Da wir k-mal den Parameter µ berechnen
würden, wäre die Streuung Null. Würden wir hingegen Stichproben vom
Umfang n=1 ziehen, so entspräche der Standardfehler der Streuung des
Merkmals in der Population. Warum?
Mathematisch ausgedrückt: Der
Standardfehler (genau genommen die Varianz der AM-Werteverteilung)
ist indirekt proportional zum Stichprobenumfang. D.h. Je größer der
Stichprobenumfang, desto kleiner der Standardfehler.
In
Korrespondenz obiger Gedankengänge liefert die mathematische
Herleitung des Standardfehlers folgende Beziehung:
In den
meisten Fällen ist uns aber die Varianz (Streuung) σ² des Merkmals
nicht bekannt, sodass wir auch diese schätzen müssen (als Schätzwert
dient uns die Bias-korrigierte Varianz; vgl. letztes
Sommersemester).
Aufgabe:
Beschreiben Sie die Abhängigkeit
des Stichprobenfehlers von der Stichprobengröße n! Bearbeiten Sie
desweiteren Punkt 2 des Aufgabenblattes (siehe link Kapitel 1.2)!
Eintrag in das
Lerntagebuch
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| 1.4. Zentrales
Grenzwerttheorem |
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Die
Verteilung von Mittelwerten (AM) aus theoretisch unendlich vielen
Stichproben, die aus ein und derselben Grundgesamtheit stammen,
strebt mit wachsendem Stichprobenumfang n gegen eine
Normalverteilung. Dieses Faktum ist unabhängig von der
Verteilungsform des Merkmals in der Grundgesamtheit.
Lernstoff
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| 1.5. Parameterschätzung |
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Das
arithmetische Mittel (AM) der AM-Kennwerteverteilung entspricht dem
Parameter µ der Verteilung des entsprechenden Merkmals in der
Grundgesamtheit (dies lässt sich mathematisch beweisen, ist aber
intuitiv auch plausibel).
Zusammenfassung: Entsprechend den
obigen Ausführungen können wir nun davon ausgehen, dass sich die AM
aus hinreichend großen Stichproben (vgl. zentrales Grenzwerttheorem)
um den unbekannten Parameter µ mit der Streuung des Standardfehlers
(den wir ebenfalls schätzen müssen, sofern wir nicht die wahre
Streuung des Merkmals in der Population kennen) normalverteilen.
Die Normalverteilung besitzt überaus hilfreiche und
interssante Eigenschaften: So befinden sich im Intervall µ ± σ ca.
68% und im Intervall µ ± 2σ ca. 95,5% aller Fälle (hier:
Mittelwerte).
Ausgehend von unserer AM-Kennwerteverteilung
ergibt sich für die AM, dass sie mit 95,5%iger Wahrscheinlichkeit im
folgenden Intervall liegen:
Anstelle des
Koeffizienten 2 können wir je nach gewünschter Wahrscheinlichkeit
für
KI 95% 1,96 und
KI 99% 2,58 einsetzen.
Nun
müssen wir uns allerdings noch vor Augen halten, dass der Paramter µ
unbekannt ist. Ziehen wir jetzt aber eine Stichprobe und berechnen
für ein Merkmal das AM, so können wir für dieses AM mit Hilfe obiger
Überlegungen bestimmte Parameter µ für dessen "Zustandekommen"
ausschließen.
Hierzu ein kleines Beispiel:
(Nochmals) Angenommen, der Parameter µ sei bekannt mit
µ=100. Dann liegt ein AM einer beliebigen Zufallstichprobe mit
95%iger Wahrscheinlichkeit im Intervall µ ± 1,96 mal Standardfehler
des AM! Sei der Standardfehler = 10, so entspricht das einem
Intervall von [80,4;119,6]. Ein erhobenes AM von 115 fällt also in
diesen Bereich, ist µ allerdings 90 so ergibt sich bei gleichem
Standardfehler ein Intervall von [70,4;109,6] - unser erhobenes AM
ist also nicht inkludiert, der Parameter µ=90 fällt also mit hoher
Wahrscheinlichkeit als "Erzeuger" eines AM von 115 aus.
Damit
wären wir auch schon am Ende unserer Überlegungen zur
Parameterschätzung. Stellen wir obige Ungleichung um, so können wir
für jedes erhobene AM mit einer festgelegten Wahrscheinlichkeit ein
Intervall von Populationsparametern angeben, welche für die
"Erzeugung" dieses Stichprobenkennwertes AM in Frage kommen.
Die umgestellte Ungleichung lautet:
Lernstoff
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| 1.6. Eigenschaften des
Konfidenzintervalls |
|
1. Wie
wirken sich folgende Kenngrößen auf die Breite des
Konfidenzintervalls aus?
1.1 Stichprobengröße n
1.2
gewählte Wahrscheinlichkeit (80%; 90%; 95%, 99%)
Für das
95%-Konfidenzintervall eines Anteilswerts gilt:
2.1 Für
welchen Anteilswert p erreicht die Funktion p(1-p) ihr Maximum?
2.2 Was folgt daraus bezüglich der Breite des
Konfidenzintervalls?
Übungsaufgaben,
Eintrag in das Lerntagebuch
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