3.1 Das Integral intuitiv verstehen
http://www.mathe-online.at/mathint/int/applet_b_intuitiv.html
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Die folgende Übung verlangt ein wenig mehr Abstraktion als die vorherigen Applets. Zwar ist das Applet als Vertiefung gedacht hat, ist aber enorm wertvoll, wenn es darum geht den Integralbegriff in all seinen Facetten zu erfassen! Man kann dadurch sehr profitieren! Ich empfehle daher dringend, sich dieses Applet anzusehen, auch wenn man nicht stundenlang darüber sinniert. Außerdem ist es lustig und man kann ein wenig herumspielen.
Vertiefung, Vorgriff
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3.2 Probeschularbeit
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Im Anhang ist eine Probeschularbeit vorgestellt. Zur Bearbeitung solltest du dir in 90 Minuten Zeit nehmen.
Gedacht ist eigentlich das ganze mit Unterstützung von Mathematica zu lösen. Da nicht alle Mathematica Kenntnisse vorweisen können, trotzdem aber Möglichkeiten zur Übung haben wollen, kannst du dir die Angabe auch in einem anderen Format downloaden. Die Zeit ist dann aber höher anzusetzen.
Für die Angabe in Mathematica klicke hier:
1)Mathematica Angabe.
2)Angabepdf
3)Lösungpdf
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3.3 Übungsbeispiele zu Flächendifferenzen
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Löse die folgenden Aufgaben zu den vorherigen Kapiteln.
Aufgaben
1)Angabe
2)Lösungen
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3.4 Erinnerst du dich?
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Wir sind nun in eine Welt eingetaucht, in der Dinge möglich sind die, wir uns als junger Schüler nicht vorstellen hatten können. Die Mathematik der Unterstufe hat doch beinahe "vernarrt" gewirkt in die perfekte ideale Welt der Geometrie. Linien, die Eckpunkte geradlinig miteinander verbinden und irgendeine Art von Polygon wie Dreiecke, Quadrate oder ferner Trapeze erzeugen.
Erst später kam der Kreis hinzu der zwar anschaulich klar, mathematisch aber schwieriger zu fassen war. Die vollständige exakte Berechnung dieser einfachen Körper, sei es nun die Fläche im 2-D Raum oder die Oberfläche und das Volumen im 3-D Raum, beschränkte sich zumeist auf das Einsetzen in eine bekannte Formel.
Später setzte der Siegeszug der Vektorrechnung ein, ein gerader gerichteter Pfeil inmitten eines mathematischen Raumes.
Krumme Linien hingegen haben immer schon eine gesonderte Stellung in der Mathematik genossen, sieht man sich nur den berühmtesten Vertreter, den Kreis an. Dieser hat beim Versuch dessen Flächeninhalt zu berechnen eine verwirrende geheimnisvolle Zahl offenbart: „Pi“. Es mag einen schon verblüffen, mit 13 von einer Zahl zu hören deren letzte Stellen niemals berechnet werden kann und die sich unaufhaltsam fortsetzt bis in alle Ewigkeit. Erschwerend scheinen ihre Nachkommastellen Folge völlig zufällig zu sein. Es erinnert ein wenig an Michael Endes unendliche Geschichte, als säße eine sagenhafte Figur an einem Tisch, die sich den ganzen Tag über neue Nachkommastellen für Pi ausdenkt und diese aufschreibt……..
Später tauchen zwar Kegelschnitte auf, diese weisen aber eine relativ hohe Symmetrie auf und deren Flächeninhalt lässt sich daher mitunter leicht berechnen, denke nur an die Ellipse mit A=πab.
Gerade eben erst haben wir die nötige Erkenntnis erlangt, wie man den Flächeninhalt einer krummen Linie oder Funktion errechnet, ein kleiner Schritt zum Rechnen aber ein großer Schritt für die Mathematik!
Doch nun keimt eine neue Frage in unserem Unterbewusstsein, eine die sich jeder einmal mit ziemlicher Sicherheit in früheren Kindheitstagen gestellt hat, aber deren Antwort sich bis heute unserer Vorstellung entzog. Vermutlich fällt sie uns nicht sofort wieder ein, hat man doch jahrelang gehört, dass das schwierig ist, dass man das erst später einmal lernen wird und dass man doch warten soll bis man es versteht. Irgendwann, mit den Jahren, vergisst man aber, dass die Erwachsenenwelt einem noch eine Antwort schuldig ist. Nun ist die Zeit gekommen an der wir aufbegehren müssen und unsere Antwort fordern! Doch, eine Antwort worauf? Wie lautet die Frage?
Nehmen wir an, sie nehmen ein Blatt Papier und zeichnen ein beliebige Funktion. Die Funktion geht rauf und runter und rauf, ganz wie sie wollen und die Funktion wählen. Angenommen sie wählen jetzt 2 Punkte auf der Funktion. Wie lange ist dann der Weg von einem Punk entlang der Funktion zum anderen Punkt? In der Anwendung gleichbedeutend wäre z.B. die Frage: „Wenn ich mit dem Auto durch ein Waldstück entlang einer kurvigen Straße fahre, welchen Weg habe ich dann zurückgelegt?“ Eine andere Fragestellung könnte lauten: „ Wie lange war der Weg, den das Flugzeug von Startflughafen zum Zielflughafen zurückgelegt hat?“
Auch wenn es über den Schulstoff ein wenig hinaus geht, man sieht, es ist sogar im 3-D Raum möglich, die Länge einer Funktion zu bestimmen.
Falls du weiter an diesem Gebiet interessiert bist:
Länge eines Funktionsgraphen
Vorgriff
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3.5 Geschichte
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Die Integralrechnung ist an sich eine eher jüngerer Bereich in der Mathematik und entwickelte sich schlagartig im 17 Jhdt.
Über den steinigen Weg exakter Definitionen und stichhaltiger Beweise handelt der folgende Artikel.
Außerdem ist es möglich weitere Informationen rund um die genialen Kopfe zu sammeln, die Mathematik vorangebracht haben.
Historische Entwicklung des Integralbegriffs
Im nächsten Artikel findest du dann ein Quiz (Lückentext) dazu.
Vertiefung
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