Exponential- und Logarithmusfunktionen kommen vielfach in der Natur bei Wachstums-, Zerfalls-, Abnahmeprozessen vor! Dies kann sehr interessant und wichtig sein!
Versuche folgende Aufgaben mithilfe von GeoGebra zu lösen!
Aufgabe 1) Um das Alter von Tierskeletten zu bestimmen, verwendet man die sogenannte 14C-Datierung (=Radiokarbon-Methode).
14C ist die Bezeichnung für ein radioaktives Kohlenstoffisotop, das sich in äußerst geringen Mengen in der Luft befindet. Durch die Photosynthese wird 14C in die Pflanzen aufgenommen und gelangt über die Nahrungskette in den Tierkörper.
Die Halbwertszeit τ von 14C liegt zwischen τ1 = 5690 Jahren und τ2 = 5770 Jahren.
Wie alt ist ein Tierskelett, wenn sein gemessener 14C-Anteil nur noch 7,9% der Ursprungsmenge ist? Führe die Berechnung für τ1 und τ2 durch!
Aufgabe 2) Die Behandlung von Krebs ist ein vielschichtiges Problem:. Um der Verschleppung von Tochterzellen einer Krebsgeschwulst (Metastasenbildung) entgegen zu wirken, wird der/die PatientIn, wenn es möglich ist, zunächst chirurgisch vom primären Malignom befreit und je nach Indikation einer Strahlentherapie zugeführt. Zum Beispiel kann ein Schilddrüsenkarzinom mit dem Radionuklid Jod-131 behandelt werden. In fortgeschrittenen Fällen kann auch eine Chemotherapie notwendig werden. Im menschlichen Körper zerfällt das Radionuklid unter Emission der gewünschten Strahlung, außerdem wird die eingebrachte Substanz exponentiell vom Körper abgebaut.
Die Zeit t1, in der die Hälfte der Substanz vom Organismus wieder ausgeschieden wird (biologische Halbwertszeit) ist also nur eine Komponente, nach der die ursprüngliche Radioaktivität abgebaut wird. Wie erwähnt, gibt es ja auch noch den immer vorhandenen physikalischen Zerfall mit der physikalischen Halbwertszeit t2.
Der Abbau einer radioaktiven Substanz im Organismus kann wie folgt beschrieben werden:
E(t) = Ev ∗ e(ln(0,5)/t1) ∗ t ∗ e(ln(0,5)/t2) ∗ t
mit E(t), Ev: die zur Zeit t bzw. t=0 noch nicht zerfallenen Kerne des Elements.
Wie groß ist die effektive Halwertszeit (zu diesem Zeitpunkt ist E(t) = Ev /2 für t1 = 5 Tage und t2 = 8,04 Tage?
Aufgabe 3) Aspirin ist ein häufig verwendetes Schmerzmittel. Der darin enthaltende Stoff Acetylsalicylsäure wird mit einer Halbwertszit von 3 Stunden exponentiell ausgeschieden. Ein Patient nimmt um 8, 12 und 18 Uhr je eine Tablette mit 0,5 g ein.
Wie viel g wirksame Substanz befindet sich um 14 Uhr, wie viel um 24 Uhr im Körper?
Bemerkung: Es ist zu beachten, dass sich die menschliche Schmerzschwelle ändert. Sie sinkt am Abend ab, sodass häufig abends/nachts schmerzstillende Medikamente verabreicht werden. Die Voraussetzung der Halbwertszeit von 3 Stunden für Acetylsalicylsäure gilt nur bei nierengesunden Menschen. Bei nierenkranken und älteren Menschen können schnell kritische und gesundheitsschädliche Konzentrationen entstehen.
Aufgabe 4) Der Mäusebussard ist unser häufigster Greifvogel. In Niederösterreich leben etwa 2500 Brutpaare, d.h. rund 5000 Mäusebussarde, die sich weitgehend von Feldmäusen ernähren. Je nachdem, ob es in einem Jahr viele oder wenige Feldmäuse gibt, zieht ein Brutpaar 1 bis 3 Junge auf.
Nehmen wir an, dass pro Jahr durchschnittlich 2 Junge von einem Brutpaar aufgezogen werden, keine Sterblichkeit die Mäusebussardbestände reduziert, Vögel nicht abwandern und die Jungvögel uneingeschränkte Möglichkeiten vorfinden, bereits im Alter von einem Jahr selbst erfolgreich zu brüten. In diesem Fall würde die niederösterreichische Mäusebussard-Population exponentiell anwachsen.
Diese Annahmen führen auf A(x) = A0 ∗ 2x, wobei A(x) die Anzahl der Mäusebussarde nach x Jahren ist, A0 = 5000.
a) Nach wie vielen Jahren würde auf jedem m2 in Niederösterreich ein Mäusebussard sitzen? (Fläche von Niederösterreich: 19 170 km2)
b) Nach wie vielen Jahren würde auf jedem m2 Boden in Europa ein niederösterreichischer Mäusebussard sitzen? (Fläche von Europa: 10,5 Millionen km2)
Anmerkung: Natürlich können die Bestände von Mäusebussarden nicht in solchen Ausmaßen anwachsen, da erhöhte Sterblichkeit und verringerte Fortpflanzung die Bestände sehr rasch den jeweiligen Umweltbedingungen anpassen und mehr oder weniger auf gleicher Höhe halten.
Aufgabe 5) Am 11.März 2011 begann eine Unfallserie im japanischen Kernkraftwerk Fukushima Daiichi, bei der große Mengen an radioaktivem Material freigesetzt wurden.
Atomenergie hat sehr viele Vorteile (z.B. kostengünstig, unerschöpfliche Energiequelle, wenig Treibhausgase), kommt es aber zu einem solchen Unfall, so wird die land- und meerseitige Umgebung sowohl in der Luft, als auch am Boden samt Nahrungsmitteln und Wasser kontaminiert.
Radioaktive Strahlung führt beispielsweise zur Strahlenkrankheit oder Krebs.
Ein weiteres Problem stellt die ungelöste Entsorgung dar: man weiß nicht, wohin man die hoch radioaktiven Brennelemente entsorgen kann!
Die Aktivität einer radioaktiven Substanz (die mittlere Anzahl der Atomkerne, die pro Sekunde radioaktiv zerfallen) wird in Becquerel (Bq) angegeben.
In Fukushima wurden bei der Spaltung von Uran-235 etwa 15 EBq (15 „Exabecquerel“ = 15 ∗ 1018 Bq) Xenon-133 und ca. 36 PBq (36 „Petabecquerel“ = 36 ∗ 1015 Bq) Cäsium-137 freigesetzt. Cäsium-137 hat eine Halbwertszeit von etwa 30 Jahren.
Man kann das Zerfallsgesetz mithilfe der e-Funktion modellieren, indem man für die nach einer Zeit t vorhandene Strahlungsmenge N(t) den Ansatz N(t) = N0 ∗ ekt wählt, da der radioaktive Zerfall exponentiell verläuft.
a) Gib das Zerfallsgesetz für Cäsium-137 an! Welchen Wert nimmt die Konstante k dabei an?
Interpretiere ihr Vorzeichen!
In welchem Jahr werden 95% des heute (~ März 2017) vorhandenen Cäsiums-137 zerfallen sein?
Stelle den Zusammenhang zwischen vergangener Zeit t und vorhandener Menge an Cäsium-137 (mit Hilfe von GeoGebra) grafisch dar! Markiere die dir bereits bekannten Punkte!
In welchen Dingen würde sich diese Kurve unterscheiden, wenn der radioaktive Zerfall linear verlaufen würde? Wie sähe in diesem Fall eine Gleichung aus, wenn die Menge des radioaktiven Materials alle 20 Jahre um 5 PBq abnehmen würde?
b) In Tschernobyl passierte 1986 ebenfalls ein solcher Unfall, bei dem 85,71 PBq des radioaktiven Materials Cäsium-137 freigesetzt wurden. In welchem Jahr wird nur noch 0,5 % der ursprünglich freigesetzten Menge an Cäsium-137 in Tschernobyl vorhanden sein? Wie viele Bq sind das dann?
Übungsaufgaben
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