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1.1 Definition der natürlichen Zahlen ℕ
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Die Menge ℕ der natürlichen Zahlen ist im wahrsten Sinne des Wortes natürlich. Sie umfasst die natürlichsten Zahlen, nämlich jene, die beim Zählen von Gegenständen begegnen.
Von dieser Menge behauptete der deutsche Mathematiker Leopold Kronecker folgendes: "Die natürlichen Zahlen hat uns Gott gegeben, alles andere ist Menschenwerk."
Tatsächlich lassen sich, wie wir noch sehen werden, alle weiteren Zahlenmengen auf die Menge ℕ der natürlichen Zahlen zurückführen.
Konkret handelt es sich dabei um folgende Menge:
ℕ={1,2,3,...}
Die Punkte deuten an, dass die Folge dieser Zahlen unbeschränkt fortgesetzt werden kann. Mit anderen Worten: ℕ ist eine unendliche Menge.
Es gibt keine größte natürliche Zahl, wohl gibt es aber eine kleinste natürliche Zahl, nämlich 1.
Im Folgenden fassen wir die wichtigsten Eigenschaften der natürlichen Zahlen kurz zusammen:
1.) 1 ist die kleinste natürliche Zahl.
2.) Jede natürliche Zahl besitzt einen Nachfolger, d.h. eine um eins größere Zahl.
3.) Zwischen einer natürlichen Zahl n und deren Nachfolger n+1 liegt keine weitere natürliche Zahl. Die Darstellung der natürlichen Zahlen auf dem Zahlenstrahl ergibt daher isolierte Punkte.
4.) Es gibt keine größte natürliche Zahl.
Verwendet werden die natürlichen Zahlen in vielerlei Hinsicht: Zum Zählen von Gegenständen (z.B. Anzahl der Bundesländer), zum Festlegen einer Reihenfolge (z.B. Reihung gemäß der Größe der Bundesländer) etc.
Sie treten auch bei Aufgaben über Anzahlen (z.B. Anzahl der EinwohnerInnen eines bestimmten Bundeslandes) auf.
Manchmal werden auch durch Messung ermittelte Größen auf natürliche Zahlen gerundet, z.B. Fläche eines Bundeslandes.
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1.6 Arbeitsblatt zu den natürlichen Zahlen ℕ
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Beantworte folgende Punkte auf einem mit dem Mathematik Add-In gestalteten Arbeitsblatt.
Lade dieses Arbeitsblatt dann auf der Moodle-Seite zum Lernpfad hoch!
1.) Wie kann man beweisen, dass es keine größte natürliche Zahl geben kann?
2.) Wo begegnen natürliche Zahlen im Alltag? Nenne mind. 5 Beispiele!
3.) Wie lassen sich die natürlichen Zahlen auf dem Zahlenstrahl veranschaulichen?
4.) Was besagt das Prinzip der Vollständigen Induktion? Erkläre in eigenen Worten!
5.) Beweise mit Vollständiger Induktion: 1+2+...+n = ½·n·(n+1)!
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1.7 Multiple-Choice Test zu den natürlichen Zahlen
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Überprüfe dein bereits erworbenes Wissen zur Menge ℕ der natürlichen Zahlen anhand eines Multiple-Choice Tests.
Hinweis: Es können unterschiedlich viele Fragen richtig sein. Von keiner einzigen bis zu allen Fragen ist alles möglich!
Multiple-Choice Test zu ℕ.
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1.8 Geschichtliches zu den natürlichen Zahlen
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Bereits um 3000 v.Chr. wurden in Uruk (Mesopotamien, heutiges Irak) Texte verfasst, die ganze Zahlen und Bruchzahlen enthielten.
Die Zahlen selbst sind vermutlich wesentlich früher entstanden. Von den Ägyptern weiß man, dass sie schon sehr große Zahlen verwendeten.
Bemerkenswert ist, dass es in vielen alten Sprachen neben dem Singular und Plural eigene Wörter für ein Paar gab. In einigen Sprachen hatten die Zahlwörter auch noch weitere Bedeutungen. Im Sumerischen beispielsweise steht das Zahlwort eins auch für Mann und das Zahlwort zwei für Frau. Außerdem bündelten viele Völker in ihren Sprachen Zahlen zu Einheiten.
Die natürlichen Zahlen, so wie wir sie heute kennen, entwickelten sich erst langsam aus der Abstraktion des Zählvorganges. Die meisten Kulturen kamen ohne den Begriff der Null aus, der erst relativ spät in der indischen bzw. arabischen Mathematik entwickelt wurde. Für 10 oder ein Vielfaches von 10 wurden oft spezielle Zeichen verwendet.
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