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3.1 Definition der rationalen Zahlen ℚ
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Wie bereits gesehen, ist die Menge der ganzen Zahlen ℤ bezüglich der Division nicht abgeschlossen, d.h. das Ergebnis einer Division ganzer Zahlen muss nicht in ℤ liegen.
Beispielsweise liegen die Ergebnisse der Divisionen 3:5, (-4):7 und (-2):(-5) alle nicht in ℤ.
Es ist daher sinnvoll, die Menge der ganzen Zahlen um die Menge aller Divisionsergebnisse, d.h. um die Menge aller möglichen Brüche a/b, zu erweitern.
So gelangt man zur Menge ℚ der rationalen Zahlen:
ℚ = {a/b : a,b ∈ ℤ und b ≠ 0}
Das heißt, in ℚ befinden sich alle möglichen Brüche der Form a/b, wobei a eine beliebige ganze Zahl und b eine beliebige ganze Zahl außer die Null ist.
Dabei nennt man a den Zähler und b den Nenner des Bruches. Der Buchstabe Q der Mengenbezeichnung ℚ kommt übrigens vom Wort "Quotient".
Es lässt sich leicht zeigen, warum die Division durch Null ausgeschlossen werden muss:
Angenommen die Division 3:0 bzw. der Bruch 3/0 wäre eine Zahl, nennen wir sie c. Dann wäre umgekehrt, als Probe der Rechnung, c·0 = 3.
Dies ist aber unmöglich, weil jede Multiplikation mit Null 0 ergibt, insbesondere auch c·0.
Die Division durch Null ist daher keine zulässige mathematische Operation, weil sie zu Widersprüchen führt!
Wenn man die obige Definition der rationalen Zahlen genauer betrachtet, erkennt man, dass gewisse rationale Zahlen doppelt vorkommen:
So ist die rationale Zahl ½ sowohl Ergebnis der Division (+1):(+2) als auch der Division (-1):(-2).
Es genügt somit, im Nenner des Bruches nur natürliche Zahlen zu betrachten. Damit ist auch automatisch die Division durch Null ausgeschlossen, weil 0 ∉ ℕ.
Wir können also definieren:
ℚ = {a/b : a ∈ ℤ und b ∈ ℕ}
Die positiven Bruchzahlen erhält man somit mit einer positiven ganzen Zahl im Zähler, die negativen rationalen Zahlen mit einer negativen ganzen Zahl im Zähler des Bruches.
Ein kurzes Fazit: Die rationalen Zahlen ℚ sind als Erweiterung der ganzen Zahlen ℤ entstanden, die wiederum als Erweiterung der natürlichen Zahlen ℕ entstanden sind.
Daher gilt: Die Menge der natürlichen Zahlen ist in der Menge der ganzen Zahlen enthalten, die wiederum Teilmenge der rationalen Zahlen ist.
Eine jede ganze oder natürliche Zahl a lässt sich nämlich auch als Bruchzahl a/1 auffassen, z.B. kann die natürliche Zahl 3 auch als Bruchzahl 3/1 gesehen werden.
Formal schreibt sich das auf folgende Weise: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ.
Eine weitere Eigenschaft zeichnet die rationalen Zahlen aus:
In ℚ sind Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division (außer durch Null) unbeschränkt ausführbar.
Dies lässt sich leicht anhand der Regeln für das Rechnen mit Brüchen erkennen. Das Ergebnis der Rechnung ist immer wieder eine rationale Zahl.
Anders formuliet: Für alle rationalen Zahlen a,b ∈ ℚ gilt: a+b ∈ ℚ, a-b ∈ ℚ, a·b ∈ ℚ und a:b ∈ ℚ.
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3.2 Dichtheit der rationalen Zahlen ℚ
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Zahlenmengen lassen sich auf dem Zahlenstrahl anschaulich darstellen, indem man die Zahlen einzeichnet:
Für die ganze Zahlen ℤ ergibt sich so eine unendliche "Perlenkette" in beide Richtungen, für die natürlichen Zahlen ℕ eine "Perlenkette" von der Zahl 1 weg in positive Richtung.
Auch die rationalen Zahlen ℚ lassen sich darstellen, allerdings nicht mehr so übersichtlich, wie im Falle der natürlichen oder ganzen Zahlen:
Während nämlich z.B. zwischen zwei benachbarten natürlichen Zahlen keine weitere natürliche Zahl liegt, gibt es zwischen zwei rationalen Zahlen immer eine weitere rationale Zahl!
Daraus folgt, dass eine rationale Zahl q keine Nachbarn hat. Es lassen sich immer wieder neue rationale Zahlen finden, die noch enger bei q liegen.
Wir behaupten und zeigen: das arithmetische Mittel zweier verschiedener rationalen Zahlen a und b liegt zwischen diesen beiden Zahlen.
In formaler Sprechweise: Für alle rationale Zahlen a und b, mit a < b, gilt: a < (a+b)/2 < b.
Durch Multiplikation der Behauptung gelangt man zu 2·a < a+b < 2·b, was äquivalent ist zu a+a < a+b < b+b.
Diese Ungleichungen sind aber wegen a < b sicherlich richtig. Somit ist die Behauptung gezeigt.
Da außerdem (a+b)/2 wieder eine rationale Zahl ist, haben wir zwischen a und b eine weitere, von a und b verschiedene rationale Zahl gefunden.
Somit gilt: Zwischen zwei verschiedenen rationalen Zahlen gibt es stets eine weitere rationale Zahl.
Mögen diese noch so nahe beieinanderliegen, lässt sich eine rationale Zahl dazwischen finden.
Mengen, die diese Eigenschaft erfüllen, heißen dichte Mengen. Wir fassen das Gesagte zusammen:
Die Menge ℚ der rationalen Zahlen ist dicht.
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3.4 Arbeitsblatt zu den rationalen Zahlen ℚ
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Beantworte folgende Punkte auf einem mit dem Mathematik Add-In gestalteten Arbeitsblatt.
Lade dieses Arbeitsblatt dann auf der Moodle-Seite zum Lernpfad hoch!
1.) Wenn a und b rationale Zahlen sind: Warum ist auch deren arithmetisches Mittel (a+b)/2 in ℚ enthalten?
2.) Das Produkt der rationalen Zahlen 3/5 und 5/3 ergibt 1, liegt also in ℕ. Führt die Multiplikation somit aus ℚ heraus?
3.) Warum sind die natürlichen Zahlen ℕ und die ganzen Zahlen ℤ nicht dicht? Begründe!
4.) Handelt es sich bei der Menge {1, 1/2, 1/3, 1/4...} um eine dichte Menge? Begründe!
5.) Warum ist die Division durch Null nicht definiert?
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3.5 Multiple-Choice Test zu den rationalen Zahlen ℚ
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Überprüfe dein bereits erworbenes Wissen zur Menge ℚ der rationalen Zahlen anhand eines Multiple-Choice Tests.
Hinweis: Es können unterschiedlich viele Fragen richtig sein. Von keiner einzigen bis zu allen Fragen ist alles möglich!
Multiple-Choice Test zu den rationalen Zahlen ℚ
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3.6 Geschichtliches zu den rationalen Zahlen
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Aus der Notwendigkeit heraus, Teile von Objekten zu beschreiben, setzten sich die Bruchzahlen geschichtlich gesehen schneller durch als die negativen Zahlen. Die Ägypter verwendeten vor allem Stammbrüche für ihre Berechnungen. Bei den Babyloniern traten auch Brüche mit Zählern größer als 1 auf.
Die Griechen dagegen verwendeten den Begriff Verhältnis. Für das Rechnen mit Verhältnissen entwickelten sie die Proportionenlehre. Jede Zahl wurde geometrisch als Strecke interpretiert. Die Bruchzahl z=3/4 wurde als Verhältnis 3:4 zwischen einer Strecke z und der Einheitsstrecke e aufgefasst.
Zwei Strecken bzw. Zahlen a und b werden kommensurabel genannt, wenn sie ein gemeinsames Maß besitzen. Es muss also eine kleinere Zahl bzw. kürzere Strecke geben, die in den beiden Strecken a und b enthalten ist, d.h. sowohl a als auch b sind Vielfache dieser kürzeren Strecke. Für die Pythagoreer war es ein Glaubenssatz, dass alle Strecken kommensurabel sind. Der Legende zufolge entdeckte Hippasos von Metapont, ein Schüler von Pythagoras, dass die Diagonale im regelmäßigen Fünfeck kein gemeinsames Maß mit der Seitenlänge hat, und wurde daraufhin auf Anweisung seines Lehrers ertränkt.
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