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1.1 Lineare Gleichung in einer Variablen - Beispiele
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Überlege, welche der untenstehenden Gleichungen als "lineare Gleichung in einer Variablen" bezeichnet werden kann:
5x-3=7x+3
2x+2y=0
ax+b=0, a,b Î R
(x+1)²=x²+5
x²-1=0
1/x+2x=3
Begründe deine Entscheidung!
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1.2 Definition: Lineare Gleichung in einer Variablen
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Überlege, wie eine allgemeine Definition für lineare Gleichungen in einer Variablen lauten könnte!
Lernstoff
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1.3 Definition: Lineare Gleichung in einer Variablen
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Eine Gleichung der Bauart
ax+b=0, a,b Î R, a ¹ 0
heißt lineare Gleichung mit einer Variablen (Unbekannten) x.
ax heißt lineares Glied, b heißt konstantes Glied.
(Definition aus Reichel/Müller/Laub: Lehrbuch der Mathematik 5)
Beachte: Mit "Bauart" ist gemeint, dass alle Gleichungen so heißen, die durch Äquivalenzumformungen in diese Form gebracht werden können.
Was sind eigentlich Äquivalenzumformungen?
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1.4 Äquivalenzumformungen
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Beachte dazu das folgende (falsche?) Beispiel:
Warum soll eigentlich x²+1=0 keine lineare Gleichung sein?
x²-1=0
x²=1 durch Wurzelziehen erhält man
x=1
Also kann x²+1=0 auf eine Gleichung der Form ax+b=0 gebracht werden! Worin liegt der Fehler?
Die Antwort auf diese Frage lautet: Wurzelziehen ist keine Äquivalenzumformung!
Äquivalenzumformungen sind nämlich jene Umformungen, bei denen die Lösungsmenge einer Gleichung dieselbe bleibt. Überprüfe dies beim oben angeführten Beispiel!
Wenn eine Gleichung durch Äquivalenzumformung aus einer anderen hervorgeht, schreibt man dies so an:
x+3=5 Û x=2
Der Doppelpfeil ist ein Äquivalenzpfeil, das heißt, die Umformung kann in beiden Richtungen ausgeführt werden (durch Addition bzw. Subtraktion von 3).
Beim Wurzelziehen ist hingegen nur eine Richtung möglich:
x²+1=0 Ü x=1
Überleg dir, warum das so ist!
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1.6 Lösung einer linearen Gleichung
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Löse die allgemeine lineare Gleichung
ax+b=0
(nach x) auf. Wie lautet also die allgemeine Lösung einer linearen Gleichung in einer Variablen?
Wieviele Lösungen hat daher eine lineare Gleichung?
(Beachte: Wenn ein Mathematiker sagt: "Es gibt eine Lösung"; meint er damit, dass es mindestens eine Lösung gibt! Um auszudrücken, dass es nur eine Lösung gibt, muss man sagen: Es existiert genau eine Lösung!)
Wie lautet die Lösungsmenge der folgenden Gleichung:
2x+6=2(x+3)
Wie kann es sein, dass diese Gleichung unendlich viele Lösungen hat, wenn wir doch vorher festgestellt haben, dass lineare Gleichungen genau eine Lösung haben?
Tipp: Versuche, diese Gleichung in die allgemeine Form zu bringen! Dann wirst du feststellen, dass a=0 ist, was in der Definition ausgeschlossen ist. Es handelt sich also bei dieser Gleichung gar nicht um eine lineare Gleichung in einer Variablen!
Bestimme nun die Lösungsmenge der folgenden Gleichung:
3x+6=3(x+1)
Warum lautet hier die Lösung: L={}? (Bringe die Gleichung wieder in die allgemeine Form...!)
Löse nun die folgende Gleichung in Z, das heißt in den ganzen Zahlen:
2x-5=0
Auch diesmal ist die Lösungsmenge die leere Menge, da x=5/2 kein Element aus Z ist.
Exakt muss es daher auf die Frage nach der Lösungsmenge einer linearen Gleichung in einer Variablen heißen:
In R existiert genau eine Lösung.
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