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2.1 Beispiele
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Nun sind wir ja schon geübt: Welche der folgenden Gleichungen ist eine "quadratische Gleichung in einer Variablen"?
x²-4=x(x+7)
x²=1/x+4
3x²+4=x(x+1)
x²-6=0
Überlege warum!
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2.2 Definition
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Wie könnte eine Definition für "quadratische Gleichungen in einer Variablen" lauten?
Mehr dazu unter Quadratische Gleichung
In "Reichel/Müller/Laub: Lehrbuch der Mathematik 5" finden wir folgende Definition:
Eine Gleichung der Bauart
ax²+bx+c=0, a,b,c Î R; a ¹ 0
heißt quadratische Gleichung in einer Variablen (Unbekannten) x.
Der Ausdruck ax² heißt quadratisches Glied, bx heißt lineares Glied, c heißt konstantes Glied.
Natürlich sind auch hier alle Gleichungen gemeint, die sich durch Äquivalenzumformungen in dieses Form bringen lassen.
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2.3 Lösungen
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Wie könnte die Lösung einer quadratischen Gleichung aussehen?
Um das herauszufinden, wollen wir verschiedene Arten von quadratischen Gleichungen betrachten; wir beginnen mit einfachen (Sonder-)Fällen.
Bauart: b=0, a,c Î R: ax²+c=0
Löse die folgende Gleichung:
5x²-80=0
Vergleiche deine Lösung mit der folgenden: Lösung quadratische Gleichung 1
Die Zerfällungsmethode liefert also beide Lösungen, während man bei der Methode des Wurzelziehens noch durch Überlegen auf die zweite Lösung kommen muss!
Bauart: c=0, a,b Î R: ax²+bx=0
Löse die folgende Gleichung
3x²+6x=0
und vergleiche sie mit der Musterlösung: Lösung quadr Gleichung 3
Hast du beide Lösungen gefunden?
Bauart: a,b,c Î R: ax²+bx+c=0
Für diese Gleichungen gibt es 3 Möglichkeiten:
(1.) Formel: (a±b)²=a²±2ab+b²
Kannst du mit Hilfe dieser Formel die folgende Gleichung lösen:
x²-6x+9=0
(2.) Ergänzen auf vollständiges Quadrat:
Versuche, die folgende Gleichung mit der Methode der Ergänzung auf eine vollständiges Quadrat zu lösen:
x²-6x=16
Vergleiche deine Lösung mit der Musterlösung: Ergänzen auf vollständiges Quadrat
(3.) Lösungsformeln:
Lies das Kapitel zur kleinen Lösungsformel aus mathe online durch und versuch gleich, sie dir zu merken: Kleine Lösungsformel
Die "Kleine Lösungsformel" wird für den Fall angewendet, dass a=1.
Ist a¹1, muss die "Große Lösungsformel" herangezogen werden. Lies dazu das folgende Kapitel durch und notier dir die Große Lösungsformel: Große Lösungsformel
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2.4 Anzahl der Lösungen
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Wieviele Lösungen kann eine quadratische Gleichung haben?
Sieh dir dazu noch einmal die Große Lösungsformel an. Achte darauf, ob die Diskriminante (=Ausdruck unter der Wurzel) null oder negativ werden kann.
Beachte: Die Lösungen einer quadratischen Gleichungen bestimmen auch ihre Linearfaktoren (ganz wichtig zum Faktorisieren einer Gleichung!):
x²+px+q=(x-x1)(x-x2)
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