Einführung in die Lineare Algebra

Lernpfad erstellt und betreut von:

Martin Glatz

E-mail: martin.glatz@edu.uni-graz.at
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Übersicht:       
 Hilfe
1. Körper und Vektorräume
2. Lineare Unabhängigkeit und Basis
3. Unterräume (im R², R³)
4. Lineare Abbildungen
5. Matrixdarstellungen
6. Abschlusstest

Unterräume (im R², R³)
 
3.1 Defintion: Unterraum
Bei Vektorräumen handelt es sich auch immer eine Menge von Vektoren.
Bei Mengen kann man Teilmengen betrachten.
(Wiederhole die Definition einer Teilmenge!)

V sei ein VR.
Eine Teilmenge U von V (U Ì V) heißt Unterraum (Untervektorraum), falls U folgende Eigenschaften hat:
(Hinweis: Die Verknüpfungen werden alle von V übernommen)

1.) U ist abgeschlossen bzgl der Multiplikation mit Skalaren
2.) U ist abgeschlosen bzgl. der Addition (von Vektoren)

1.) bedeutet: Nimmt man einen beliebigen Vektor aus U und multipliziert man diesen mit einem beliebigen Skalar ("Zahl") aus dem Körper, so muss der neu entstandene Vektor wieder in U liegen.
2.) bedeutet: Die Summe zweier (beliebiger) Vektoren aus U liegt wieder in U.

Aufgabe
Versuche die Aussagen von 1.) und 2.) in mathematischer Kurzschreibweise (Quantoren,etc) zu formulieren.

Link auf Lösung (pdf)

Aufgabe
Seien v,w Î V.
Zeige, dass [{v,w}] = [v,w] ein Unterraum von V ist.

Link auf Lösungshilfe (Seite 1) und Lösung (Seite 2) (pdf)




 
3.2 Geraden im R², R³
Aus der Schule sind Geraden in Normalvektorform (nur R²) und Parameterform bekannt.

Wir wollen nun untersuchen, welche Geraden im R² tatsächlich auch Unterräume des R² sind.

Aufgabe
Wiederhole die Defintion von Geraden, Parameterform, Normal(vektor)form, und die Umwandlung zwischen diesen Formen.

Aufgabe
Bestimme, ob folgende Geraden Unteräume sind

Link auf Angabe (Seite 1) und Lösung (Seite 2) (pdf)

Merke:
Der Nullvektor muss in jedem nichtleeren Unterraum des R² bzw. R³ enthalten sein! Somit müssen Geraden durch den Ursprung gehen, falls sie Unterräume sein wollen!




 
3.3 Ebenen im R³
Aufgabe
Wiederhole die Defnintion von Ebenen in Normalvektor- und Paramterform!

Aufgabe
Untersuche, ob folgende Ebenen Unterräume des R³ sind.

Link auf Angabe (Seite 1) und Lösung (Seite 2) (pdf)

Aufgabe
Gib ein Bsp eines Unterraums (unlgeich R³) im R³, der den Unterraum U enthält und "größer" (also eine echte Obermenge) ist, an.
U = {(0,2z,3z)| z aus R}

Link auf Lösung (pdf)




 
3.4 Durchschnitt und Vereinigung im R³
Da Geraden und Ebenen als Mengen geschrieben werden können, kann man auch ihren Durchschnitt bzw. Vereinigung bestimmen.

Aufgabe
Bestimme den Durchschnitt und die Vereinigung folgender Mengen

Link auf Angabe (Seite 1) und Lösung (Seite 2) (pdf)




 
3.5 Definition: Summe
Hat man zwei Teilmengen U und W eines Vektorraums V, so kann man die beiden (formal) addieren:
In der Summe U + W sind alle Vektoren aus V enthalten, die sich als Summe von Vektoren aus U und W schreiben lassen.
(Hinweis: mit beliebigen Mengen geht das nicht, da man ja eine additive Verknüpfung auf den Mengen benötigt!)

Aufgabe
Gib eine Charakterisierung der Menge U + V in mathematischer Kurzschreibweise (Quantoren,...)

Link auf Lösung (pdf)

Aufgabe
Bestimme die Summen!

Link auf Angabe (Seite 1) und Lösung (Seite 2) (pdf)

Aufgabe
U,W seien Unterräume von V.
Ist U + W immer ein Unterraum von V?
Beweis oder Gegenbeispiel!




 
3.6 Definiton: direkte Summe
Da auch Unterräume Mengen sind, lässt sich auch aus zwei Unterräumen die Summe bilden.

U,W seien Unterräume von V.
U + W heißt direkte Summe (schreibweise: U Å W), falls jedes Element von U + W eine eindeutige Darstellung hat.
mathematisch: ( " z Î U Å W ) ( $! u Î U ) ( $! w Î W ) : z = u + w

Da U und W Unterräume sind, kann man jeweils eine Basis bestimmen. Jeder Vektor aus U und jeder Vektor aus W hat eine eindeutige Darstellung bzgl. der jeweiligen Basis und somit jeweils einen eindeutigen Koordinatenvektor bzgl. der jeweiligen Basis.
Da jedes z Î U Å W nun eine eindeutige Darstellung hat, kann man jeweils die Koordinatenvektoren des Anteils in U und des Anteils in W bestimmen.
Man kann nun die beiden Basen von U und W zu einer neuen Basis B zusammenfügen. Welchen Koordinatenvektor bzgl. B hat nun der Vektor z?

Aufgabe
Versuche obigen Text mathematisch hinzuschreiben.




 
3.7 Summen im R³
Aufgabe
Gib ein Beispiel mit drei Unterräumen des R³ , sodass sie keine direkte Summe bilden! Alle drei Unterräume müssen verschieden sein, der paarweise Durchschnitt darf nur aus dem Nullvektor bestehen. Weiters darf kein Unterraum nur aus dem Nullvektor bestehen!
Gib ein Beispiel mit drei Unterräumen des R³ , sodass sie tatsächlich eine direkte Summe bilden! Kein Unterraum darf nur aus dem Nullvektor bestehen!

Link auf eine mögliche Lösung (pdf)




 
3.8 Test zum Thema "Unterräume"
Zum Abschluss gibt es einen Multiple-Choice-Test.
Es ist evtl. sinnvoll, Papier und Bleistift bereitzuhalten, um Skizzen, kurze Beweise/Gegenbeweise etc. machen zu können.

Link auf Test (html-Seite)




 
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