- Basis
- ist beim Bilden einer Potenz
am
die Bezeichnung der Zahl a, die zur Potenz erhoben
wird.
Der Begriff der Basis tritt auch in Zusammenhang mit dem Logarithmus
auf, wenn vom "Logarithmus zu einer bestimmten Basis" gesprochen wird.
Siehe auch Umrechnen von Basen für Potenzen und Logarithmen.
- Baumdiagramm
- Ein Baumdiagramm ist eine grafische Darstellungsform eines Zufallsexperiments,
in dem mehrere Teil-Zufallsexperimente nacheinander durchgeführt werden. Dabei werden die
Versuchsausgänge jedes Teil-Experiments durch Linien
dargestellt und die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten dazugeschrieben.
Diese Teildiagramme werden zu einem einzigen Diagramm aneinandergefügt, wodurch jeder
Ablauf des Experiments einem Pfad entspricht. Die allgemeinen Regeln zur Ermittlung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A
in einem Baumdiagramm lauten: (i) Man bestimme jene Pfade, die zu A gehören,
(ii) multipliziere die Wahrscheinlichkeiten entlang dieser Pfade und
(iiii) addiere die erhaltenen Zahlen.
- Bayes, Satz von
- Siehe Satz von Bayes.
- Bedingte Wahrscheinlichkeit
- Seien A und B
zwei Ereignisse eines Zufallsexperiments.
Die bedingte Wahrscheinlichkeit p(A|B)
ist die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von A
unter der Vorraussetzung, dass auch B eintritt
(kurz: "unter der Voraussetzung B").
Bedingte Wahrscheinlichkeiten können mit Hilfe der
Multiplikationsregel für Wahrscheinlichkeiten
berechnet werden.
Siehe auch statistische Unabhängigkeit von Ereignissen.
- Bernoulli-Experiment
- ist ein Zufallsexperiment, das nur zwei mögliche
Versuchsausgänge besitzt:
ein Ereigniss A
und sein Gegenereignis Ø A
 .
Wird ein Bernoulli-Experiment mehrmals durchgeführt, so beschreibt die Binomialverteilung
die Wahrscheinlichkeit für ein k-maliges Eintreten
von A.
- Beschränkt
- Eine Funktion
f : A ® R
mit beliebigem Definitionsbereich A
heißt nach oben beschränkt, wenn es eine Zahl c gibt, die von keinem Funktionswert
überschritten wird:
f
 (x)
£ c
"xÎA.
Die Zahl c heißt obere Schranke von f.
(Ist A Í R,
so liegt der Graph von f dann unterhalb einer zur x-Achse parallelen Geraden).
Eine Funktion heißt nach unten beschränkt, wenn es eine Zahl k gibt, die von keinem Funktionswert unterschritten wird:
f(x)
³ k
"xÎA.
Die Zahl k heißt untere Schranke von f.
(Ist A Í R,
so liegt der Graph von f oberhalb einer zur x-Achse parallelen Geraden).
Eine Funktion, die nach oben und nach unten beschränkt ist, wird ohne weitere
Angabe als beschränkt bezeichnet.
- Bestimmtes Integral
- Ist f eine reelle Funktion,
so verstehen wir unter dem bestimmten Integral
òabf(x)dx
(ausgesprochen: "Integral f(x) in den Grenzen von a bis
b" oder
"Integral über f(x) von a bis b")
den orientierten Inhalt der Fläche unter dem Graphen von f
zwischen den Stellen a und b.
f(x) heißt Integrand,
a und b sind
die (untere und obere) Integralgrenze,
das Intervall [a, b] heißt
Integrationsbereich (auch Integrationsintervall oder Integrationsgebiet).
Die Integrationsvariable x
kann auch mit einem beliebigen anderen Namen bezeichnet werden, d.h.
òabf(x)dx
stellt dieselbe Zahl dar wie
òabf(x)dx.
Der Idee des orientierten Flächeninhalts unter dem Graphen kann für viele (unter anderem für alle stetigen
und stückweise stetigen) Funktionen ein Sinn gegeben werden.
Die präzise Ausformulierung dieser Idee des Integrals als Grenzwert von Summen erfolgte historisch zum ersten Mal in Form des
Riemann-Integrals. Funktionen, die diese Konstruktion zulassen,
nennen wir (Riemann-)integrierbar.
Für stetige Funktionen existiert eine besondere Berechnungsmethode:
Ist f stetig, so existiert eine
Stammfunktionen, d.h. eine differenzierbare Funktion
F, deren Ableitung f
ist. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
besagt dann, dass
òabf(x)dx =
F(b) - F(a) gilt.
Diese Differenz wird beim Rechnen auch in der Form
F(x)|ab
geschrieben.
Beispiel: ò013x2dx
= x3|01 = 13 - 03 = 1.
Eine Reihe von Integrationsregeln hilft, Stammfunktionen zu finden und
Vereinfachungsschritte durchzuführen.
Mit ihrer Hilfe macht das Integral auch für a > b
Sinn. Eine kleine Auswahl bestimmter Integrale findet sich in unserer Liste
Das bestimmte Integral kann auch als eine kontinuierliche Verallgemeinerung des
Mittelwerts und der Summe gedeutet werden.
Es besitzt zahlreiche Anwendungen, unter anderem zur Berechnung von Volumsinhalten und
der Lage von Schwerpunkten.
Wandert in einem bestimmten Integral (zumindest) eine der Grenzen gegen (plus oder minus) unendlich
oder wird der Integrationsbereich bis zu einer Unendlichkeitsstelle des Integranden
ausgedehnt, so spricht man von einem uneigentlichen Integral.
Beide Situationen sind damit verbunden, dass die "Fläche unter dem Graphen" ins Unendliche reicht.
- Betrag einer reellen Zahl
- bedeutet dasselbe wie Absolutbetrag einer reellen Zahl.
- Betrag eines Vektors
- Ein Vektor kann durch Pfeile
dargestellt werden, die alle in dieselbe Richtung zeigen und dieselbe Länge haben.
Letztere wird als Betrag des Vektors bezeichnet und mit demselben Symbol wie der
Absoutbetrag von Zahlen bezeichnet.
Für zweikomponentige Vektoren
a = (a1, a2)
ist
|a| = (a12 + a22)1/2,
für dreikomponentige Vektoren
a = (a1, a2, a3)
gilt
|a| = (a12 + a22 + a32)1/2.
- Betragsfunktion
- wird jene Funktion genannt, die jeder Zahl ihren
Absolutbetrag zuordnet, d.h.
x
®
|x|.
Sie ist ein Beispiel für eine Funktion, deren einfachste Definition nicht als
Termdarstellung, sondern mit Hilfe einer Fallunterscheidung
geschieht:
- Beweis durch vollständige Induktion
- Siehe Induktionsbeweis.
- Bezugssystem
- ist ein in der Physik gebräuchliches Wort für
Koordinatensystem (wobei durchaus auch die
Zeit, zu der ein Ereignis stattfindet, als Koordinate angesehen wird).
- Bijektiv
- heißt eine Funktion
f :
A ®
B, die jedes Element der Menge
B
(siehe surjektiv) genau einmal
(siehe injektiv) trifft. (Kurz: eine Funktion ist bijektiv,
wenn sie surjektiv und injektiv ist). Eine solche Funktion heißt auch
Bijektion.
Eine bijektive Funktion stiftet eine Eins-zu-eins-Zuordnung (eine genaue Entsprechung)
zwischen Elementen der Mengen A
und B. Die beiden Mengen sind dann
gleichmächtig
(sie werden auch isomorph oder, schlampig,
"gleich groß" genannt). Eine bijektive Funktion wird in diesem Sinn auch
Isomorphismus genannt.
Die Zuordnungsvorschrift kann dann "umgedreht" werden und definiert die
inverse Funktion (Umkehrfunktion)
f -1 :
B ®
A.
Eine bijektive Funktion wird daher auch als invertierbar (umkehrbar) bezeichnet.
Sind A und B
endliche Mengen, so gibt es nur dann eine
bijektive Funktion A ®
B, falls sie gleich viele Elemente
besitzen.
Zwei Mengen lassen nicht immer eine bijektive Funktion zu. So gibt es zum Beispiel
keine bijektive Funktion N ®
R. Das ist eine Variante der
Aussage, daß die reellen Zahlen nicht
abzählbar (sondern überabzälbar) sind.
- Bild einer Funktion
- bedeutet dasselbe wie Wertebereich.
- Binomialkoeffizienten
- sind jene Vorfaktoren, die sich durch das Ausmultiplizieren der Terme
(a + b)n
für
n = 0, 1, 2, 3, 4... ergeben.
Der k-te Koeffizient in der ausmultiplizierten Version
von (a + b)n
(wobei die Summanden nach absteigenden Potenzen von a geordnet werden
und mit k = 0 zu zählen begonnen wird)
wird als
angeschrieben (siehe auch Binomische Formeln).
Zwei direkte Formeln zur Berechnung der Binomialkoeffizienten sind
|
|
⎛
⎝
|
|
| |
⎞
⎠
|
= |
n (n - 1) (n - 2) ... (n - k + 1) (n - k)
k (k - 1) (k - 2) ... 2 × 1
|
|
|
und
(Für die Bedeutung der Rufzeichen siehe Faktorielle).
Eine weitere Berechnungsmethode ergibt sich über das Pascalsche Dreieck.
- Binomialverteilung
- Die Binomialverteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Wird ein Bernoulli-Experiment, für das der Versuchsausgang
A mit Wahrscheinlichkeit q
eintritt, n mal durchgeführt, so
ist die Wahrscheinlichkeit, dass A
genau k mal eintritt, durch die Binomialverteilung
| pk
= qk (1 -
q)n - k |
⎛ |
n |
⎞ |
|
| ⎝ |
k |
⎠ |
|
gegeben. Sie beschreibt Stichproben mit Zurücklegen.
- Binomische Formeln
- werden die Identitäten
|
|
(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2 |
|
|
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2 |
|
|
(a + b) (a - b) = a2 - b2 |
|
|
genannt. Sie sind so wichtig, daß Sie sie auswendig kennen sollten!
Die Verallgemeinerungen der ersten dieser Formeln zur Berechnung von
(a + b)n
(siehe Binomialkoeffizienten)
werden manchmal ebenfalls als Binomische Formeln bezeichnet.
- Bit
- Siehe Information.
- Bogenmaß
- In diesem Winkelmaß wird ein Winkel durch die Länge
des entsprechenden Bogens am Einheitskreis gemessen. Der volle Kreis entspricht
2p.
Wird ein Winkel im Bogenmaß angegeben, so kann die Angabe "rad" (für Radiant) angefügt werden:
60° ist p/3 rad (d.h. ungefähr 1.0472 rad).
Manchmal wird für die Umrechnung eines Winkels ins Bogenmaß
die Bezeichnung "arc" (lateinisch: arcus = der Bogen)
verwendet, z.B. arc(60°) = p/3.
Das Bogenmaß ist vom mathematischen Standpunkt aus betrachtet natürlicher als das
Gradmaß. Das wird beispielsweise durch die Näherungsformeln
für die Winkelfunktionen für kleine Winkel deutlich.
- Bruch
- Ausdruck der Form
auch
a/b
oder a/b
geschrieben, wobei
a (der Zähler) und
b (der Nenner) Zahlen
sind. Ein Bruch bezeichnet einfach eine Division, stellt daher einen
Quotienten dar. Der Nenner
b muß von 0 verschieden sein
(siehe Division durch 0).
Zum Rechnen mit Brüchen siehe Bruchrechnen.
- Bruchgleichung
- Gleichung, die Brüche beinhaltet, in deren
Nenner die Variable vorkommt. Hier ist zu beachten, daß eine Division durch Null nicht
wohldefiniert ist. Daher müssen alle Werte der Variablen, für die ein Nenner
der Gleichung Null wird, aus der Grundmenge herausgenommen werden,
um die Definitionsmenge zu erhalten.
Das Ermitteln jener Variablenwerte, für die ein Nenner Null wird, führt
selbst auf eine Gleichung (nämlich auf die Gleichung Nenner = 0).
- Bruchrechnen
- hat, wie der Name sagt, das Rechnen mit Brüchen zum Thema.
Die Rechenregeln für Brüche leiten sich aus jenen für die
Addition, die Multiplikation
und den davon abgeleiteten Operationen
Subtraktion und
Division her.
Zwei wichtige Regeln:
- Kürzen und Erweitern von Brüchen:
Kommen nur ganze Zahlen vor, so ist die güstigste Zahl, durch die ein Bruch
gekürzt werden kann, der größte gemeinsame Teiler
von Zähler und Nenner.
- Addition von Brüchen (''auf gemeinsamen Nenner bringen''):
Sind die gegebenen Nenner ganze Zahlen, so ist der günstigste gemeinsame Nenner deren
kleinstes gemeinsames Vielfache.
Für ''EinsteigerInnen'' steht ein kleiner
zum Thema Bruchrechnen zur Verfügung.
- Bruchzahlen
- Ein (etwas schlampiger) Name für rationale Zahlen.
Der Name meint Brüche der Form "ganze Zahl/ganze Zahl".
- Byte
- Siehe Information.
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