2.1 Begriffserklärung, Definition
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Im folgenden Kapitel weiten wir den Potenzbegriff auf die ganzen Zahlen aus. Wir werden sehen, dass dies eine einheitliche Darstellung von verschiedenen Rechenausdrücken und Formeln ermöglicht.
Definition 2.1.1:
(1) "aÎR\0, "nÎN: a-n=1/an
(2) "aÎR: a0=1
Der nachfolgende Satz soll dir beim Rechnen mit Brüchen helfen:
Satz 2.1.2:"a, bÎR\0, "nÎN: (a/b)-n=(b/a)n
Lernstoff
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2.2 Sätze und Rechenregeln
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Nun, da wir als Exponenten auch negative Zahlen zulassen, widmen wir uns den Rechenregeln. Du wirst feststellen, dass diese denen im Kapitel 1 (Satz 1.2.1) sehr ähnlich sind.
Satz 2.2.1: Für alle a, bÎR\0 und für alle k, lÎZ gilt:
(1) ak·al=ak+l
(2) ak/ al= ak-l
(3) (ak)l=ak ·l
(4) (a ·b)k=ak ·bk
(5) (a/b)k= ak/ bk für b ¹0
Wie dir sicher aufgefallen ist, fehlt bei diesen Rechenregeln die Fallunterscheidung, wie sie noch in Kapitel 1 vorgekommen sind. In dieser Freiheit, die Fallunterscheidungen fallen lassen zu können, liegt auch der große Vorteil dieser Erweiterung auf Exponenten mit ganzen Zahlen.
Lernstoff
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2.3 Anwendungen
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Potenzen mit Exponenten aus den ganzen Zahlen siehst du nahezu jeden Tag. Vielleicht ist es dir noch nicht aufgefallen, aber sehr große oder sehr kleine Zahlen werden gerne als Ausdruck a·10k dargestellt. Dabei wird a die Mantisse und k der Exponent genannt. Der Vorteil dieser Schreibweise liegt dabei auf der Hand. Beispielsweise ist 1,2·109 weitaus kompakter und auch einfacher zu lesen als 1200000000. Sehr wichtig ist diese Schreibweise jedoch für Rechenanlagen, besonders für den Taschenrechner. Da der Taschenrechner nur über eine begrenzte Anzahl ausgebbarer Symbole verfügt, werden sehr große (und damit verbunden lange) Zahlen in der Form a·10k dargestellt. Der Umstand, dass wir sehr große Zahlen im Taschenrechner zur Verfügung haben, bringt uns auf das Thema der Sinnhaftigkeit solcher Zahlen. Beachte, das es ca.1085 Atome/Elementarteilchen im Universum(!) gibt. Zahlen wie 1099, wie sie von den meisten Taschenrechnern dargestellt werden, können sind daher eigentlich sinnlos.
Praxisorientierung
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2.4 Übungsbeispiel zum sofort machen
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Hier kannst du überprüfen ob du das Kapitel schon gut beherrschst.
Übung
Selfchecking Test
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2.5 Beispiele für das Schulübungsheft
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Beispiel 1.) Vereinfache so weit wie möglich: a) a-4·an b) rs·r-s c) a-1·a-x
Beispiel 2.) Ein Natriumatom hat einen Durchmesser von etwa 0,000 000 4mm.
a) Schreib diese Zahl in Gleitkommadarstellung!
b) Drücke den Durchmesser in m aus!
Übungsaufgaben
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