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2.1 Die Ableitung von Potenzfunktionen
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Diese Art von Ableitungen sind die erste Form die wir jetzt kennenlernen werden:
Die allgemeine Form der Ableitung der Potenzfunktion lautet:
f '(x)=n·x(n-1) (dies gilt für konstante ganzzahlige und positive n)
Konkret an einem Beispiel sieht das folgendermaßen aus:
Gegeben sei die Funktion (3.Grades): f(x) = x3
Die 1.te Ableitung sieht dann so aus: f '(x) = 3·x2
MERKE: Der (konstante) Faktor der Ableitungsfunktion ist gleich dem Exponenten der Funktion.
Der Exponent der Ableitungsfunktion ist um 1 kleiner als der Exponent der ursprünglichen Funktion!
Schreibe die Ableitungsregel für Potenzfunktionen in dein Schulheft!!!
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2.2 Die Ableitung einer konstanten Funktion
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Der Graph einer Funktion f(x) = c, mit c € R ist eine parallele Gerade zur x-Achse mit
konstanter Steigung = NULL, und Abstand c von der x-Achse. (siehe Graphik)
Da die Differenz Dy = c - c = 0 ist, ist somit der Differenzenquotient
und somit auch sein Grenzwert (der ja genau die 1.te Ableitung ist!)
Für konstante Funktionen gilt daher folgende Ableitungsregel:
f '(x) = 0 |
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MERKE: Die Ableitung einer Konstanten ist immer NULL!!!
Schreibe die Ableitungsregel für Konstanten in dein Schulheft!
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2.3 Die Ableitung einer Funktion mit konstantem Faktor
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Eine solche Funktion sieht folgendermaßen aus: f(x)=c·f(x)
wobei c € R eine Konstante und f(x) eine differenzierbare Funktion ist.
Für Funktionen mit konstantem Faktor gilt daher folgende Ableitunsregel:
(c·f(x))' = c·f '(x)
Bsp.: Es sei die Funktion f(x) = 2x4 gegeben:
Nach der Ableitungsregel wird gerechnet: 2·4·x3 = 8·x3
MERKE: Ein konstanter Faktor bleibt beim Differenzieren als Faktor unverändert erhalten!
Schreibe die Ableitungsregel für Funktionen mit konstantem Faktor in dein Schulheft!
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2.6 Die Ableitung der Exponential- und Logarithmusfunktion
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a.) Die Exponentialfunktion:
Die Exponentialfunktion ist eine Funktion (Wiederholung)die folgendermaßen ausieht: f(x)=ex
Hier ist e die "Euler'sche Zahl" (e=2,718...).
Die Exponentialfuntion ist relativ leicht Abzuleiten da die Ableitung die Funktion selbst ist,
dh. die Ableitungsregel ist: f '(x)= ex
Bsp: Es ist die Funktion f(x)= ex + 2 gegeben.
Nach der Ableitungsregel (hier einmal für Exponentialfunktion und einmal für konstante Funktionen (die 2) ) gilt:
f '(x) = ex + 0 = ex + 0 = ex
b.) Die Logarithmusfunktion:
Die Logarithmusfunktion ist einen Funktion (Wiederholung) die folgendermaßen aussieht: f(x) = ln(x)
Hier ist ln der natürliche Logarithmus (logarithmus naturalis)
Die Ableitung der Logarithmusfunktion sieht folgendermaßen aus: f '(x) = 1/x
ACHTUNG: Beachte dass nicht für alle x € R eine erste Ableitung existiert!
FRAGE: Für welche?
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Zeichne dir zur Wiederholung eine Exponential- und eine Logarithmusfunktion in dein Heft und schaue dir nochmal den Definitionbereich der Funktionen an! Und schreibe dir die dazugehörigen Ableitungsregeln in dein Schulheft dazu!
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